ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 702 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что 1/v1+1/v2+1/v3+…+1/vn > vn при любом n, большем 1.

Доказать неравенство:
\[
\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n};
\]

1) Если \(n = 2\), тогда:
\[
\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} — \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} — \sqrt{2} =
\]

\[
= 1 + \frac{1 — 2}{\sqrt{2}} = 1 — \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}} > 0;
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
\frac{1}{\sqrt{1}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} — \sqrt{k+1} >
\]

\[
\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} — \sqrt{k+1} =
\]
\[
= \frac{\sqrt{k(k+1)} + 1 — (k+1)}{\sqrt{k+1}} >
\]

\[
= \frac{k — k}{\sqrt{k+1}} = \frac{0}{\sqrt{k+1}} = 0;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать неравенство:

\[
\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}.
\]

1) Если \( n = 2 \), тогда:

Подставим \( n = 2 \) в выражение:
\[
\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} — \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} — \sqrt{2}.
\]

Теперь упрощаем:
\[
1 + \frac{1 — 2}{\sqrt{2}} = 1 — \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}}.
\]

Это выражение положительно, так как:
\[
1 — \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}} > 0.
\]

Таким образом, для \( n = 2 \) неравенство выполняется.

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Рассмотрим разницу для \( n = k + 1 \):
\[
\frac{1}{\sqrt{1}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} — \sqrt{k+1}.
\]

Мы предполагаем, что для \( n = k \) неравенство выполняется, то есть:
\[
\frac{1}{\sqrt{1}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{k}.
\]

Нам нужно доказать, что:
\[
\frac{1}{\sqrt{1}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}.
\]

Для этого рассмотрим разницу:
\[
\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} — \sqrt{k+1}.
\]

Приведем к общему знаменателю:
\[
\frac{\sqrt{k(k+1)} + 1 — (k+1)}{\sqrt{k+1}}.
\]

Упростим числитель:
\[
\frac{k — k}{\sqrt{k+1}} = \frac{0}{\sqrt{k+1}} = 0.
\]

Таким образом, разница положительна, и мы доказали, что:
\[
\frac{1}{\sqrt{1}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}.
\]

Ответ: Мы доказали, что \( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n} \), что и требовалось доказать.