ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 701 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) 2^n > 2n+1, если n?N, n?3;

б) 2^n > n^2, если n?N, n?5.

Доказать неравенство:

a) \(2^n > 2n + 1, \, n \geq 3;\)

Если \(n = 3\), тогда:
\[
2^n = 2^3 = 8;
\]

\[
2n + 1 = 6 + 1 = 7;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
2^n — (2n + 1) = 2^{k+1} — (2k + 3) = 2 \cdot 2^k — (2k + 3) > 2(2k + 1) — (2k + 3);
\]

\[
= 4k + 2 — 2k — 3 = 2k — 1 = k + (k — 1) > 0;
\]

Что и требовалось доказать.

b) \(2^n > n^2, \, n \geq 5;\)

Если \(n = 5\), тогда:
\[
2^n = 2^5 = 32;
\]

\[
n^2 = 5^2 = 25;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
2^n — n^2 = 2^{k+1} — (k + 1)^2 = 2 \cdot 2^k — (k + 1)^2 > 2k^2 — (k + 1)^2;
\]

\[
= 2k^2 — (k^2 + 2k + 1) = k^2 — 2k — 1;
\]

\[
= (k^2 — 2k + 1) — 2 = (k — 1)^2 — 2 > 0;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать неравенство:

a) \( 2^n > 2n + 1, \, n \geq 3; \)

Шаг 1: Проверим, если \( n = 3 \), тогда:
\[
2^n = 2^3 = 8;
\]

и

\[
2n + 1 = 6 + 1 = 7.
\]

Таким образом, \( 2^3 = 8 \) и \( 2n + 1 = 7 \), что действительно подтверждает неравенство для \( n = 3 \), так как \( 8 > 7 \).

Шаг 2: Теперь предположим, что неравенство верно для \( n = k \), то есть:
\[
2^k > 2k + 1.
\]

Нам нужно доказать, что неравенство верно для \( n = k + 1 \), то есть:
\[
2^{k+1} > 2(k + 1) + 1.
\]

Рассмотрим разницу между \( 2^{k+1} \) и \( 2(k+1) + 1 \):
\[
2^{k+1} — (2k + 3) = 2 \cdot 2^k — (2k + 3).
\]

Теперь покажем, что эта разница больше, чем разница \( 2(2k + 1) — (2k + 3) \):
\[
= 4k + 2 — 2k — 3 = 2k — 1.
\]

Это выражение всегда больше 0 при \( k \geq 1 \), поскольку \( 2k — 1 > 0 \) для \( k \geq 1 \). Таким образом, мы доказали, что:
\[
2^{k+1} > 2(k + 1) + 1.
\]

Это завершает доказательство для части (a).

Ответ: \( 2^n > 2n + 1 \) для \( n \geq 3 \).

b) \( 2^n > n^2, \, n \geq 5; \)

Шаг 1: Проверим, если \( n = 5 \), тогда:
\[
2^n = 2^5 = 32;
\]

и

\[
n^2 = 5^2 = 25.
\]

Таким образом, \( 2^5 = 32 \) и \( n^2 = 25 \), что подтверждает неравенство для \( n = 5 \), так как \( 32 > 25 \).

Шаг 2: Теперь предположим, что неравенство верно для \( n = k \), то есть:
\[
2^k > k^2.
\]

Нам нужно доказать, что неравенство верно для \( n = k + 1 \), то есть:
\[
2^{k+1} > (k+1)^2.
\]

Рассмотрим разницу между \( 2^{k+1} \) и \( (k+1)^2 \):
\[
2^{k+1} — (k+1)^2 = 2 \cdot 2^k — (k+1)^2.
\]

Преобразуем это выражение:
\[
2 \cdot 2^k — (k+1)^2 > 2k^2 — (k+1)^2.
\]

Теперь раскроем скобки:
\[
2k^2 — (k^2 + 2k + 1) = k^2 — 2k — 1.
\]

Это выражение можно переписать как:
\[
= (k^2 — 2k + 1) — 2 = (k — 1)^2 — 2.
\]

Теперь заметим, что для \( k \geq 2 \), \( (k — 1)^2 — 2 > 0 \), так как квадрат числа всегда неотрицателен, и вычитание 2 из квадрата числа \( (k — 1) \) при \( k \geq 2 \) всё равно остаётся положительным. Таким образом, мы доказали, что:
\[
2^{k+1} > (k+1)^2.
\]

Это завершает доказательство для части (b).

Ответ: \( 2^n > n^2 \) для \( n \geq 5 \).