ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 700 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Даны последовательности (c_n), где c_n=2^(n+2), где x_n=2n+5. Сравните c_1 и x_1, x_2 и x_2, c_3 и x_3, c_4 и x_4. Сформулируйте утверждение и проведите его доказательство.

Даны последовательности:
\(c_n = 2^{n+2}\), \(x_n = 2n + 5\);

1) Первые четыре члена:
\[
c_1 = 2^3 = 8, \quad x_1 = 2 + 5 = 7;
\]

\[
c_2 = 2^4 = 16, \quad x_2 = 4 + 5 = 9;
\]

\[
c_3 = 2^5 = 32, \quad x_3 = 6 + 5 = 11;
\]

\[
c_4 = 2^6 = 64, \quad x_4 = 8 + 5 = 13;
\]

2) Предположение:
\(c_n > x_n, \, n \in \mathbb{N};\)

3) Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
c_{k+1} — x_{k+1} = 2^{k+3} — (2k + 7) =\]

\[2 \cdot 2^{k+2} — (2k + 7) > 2(2k + 5) — (2k + 7);
\]

\[
= 4k + 10 — 2k — 7 = 2k + 3 > 0, \quad c_n > x_n;
\]

Ответ: \(c_n > x_n.\)

Даны последовательности:

\( c_n = 2^{n+2} \), \( x_n = 2n + 5 \);

1) Первые четыре члена:

Для \( n = 1 \) подставляем значение \( n = 1 \) в формулы для последовательностей:
\[
c_1 = 2^{1+2} = 2^3 = 8, \quad x_1 = 2 \cdot 1 + 5 = 2 + 5 = 7.
\]

Таким образом, для \( n = 1 \), \( c_1 = 8 \) и \( x_1 = 7 \).

Для \( n = 2 \):
\[
c_2 = 2^{2+2} = 2^4 = 16, \quad x_2 = 2 \cdot 2 + 5 = 4 + 5 = 9.
\]

Таким образом, для \( n = 2 \), \( c_2 = 16 \) и \( x_2 = 9 \).

Для \( n = 3 \):
\[
c_3 = 2^{3+2} = 2^5 = 32, \quad x_3 = 2 \cdot 3 + 5 = 6 + 5 = 11.
\]

Таким образом, для \( n = 3 \), \( c_3 = 32 \) и \( x_3 = 11 \).

Для \( n = 4 \):
\[
c_4 = 2^{4+2} = 2^6 = 64, \quad x_4 = 2 \cdot 4 + 5 = 8 + 5 = 13.
\]

Таким образом, для \( n = 4 \), \( c_4 = 64 \) и \( x_4 = 13 \).

2) Предположение:

Мы предполагаем, что для всех натуральных чисел \( n \) выполняется неравенство:
\[
c_n > x_n.
\]

То есть, каждый элемент последовательности \( c_n = 2^{n+2} \) больше соответствующего элемента последовательности \( x_n = 2n + 5 \).

3) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Для доказательства индукции предположим, что неравенство \( c_k > x_k \) выполняется для некоторого \( k \). Теперь нужно доказать, что оно выполняется для \( n = k + 1 \). То есть, нужно доказать, что:
\[
c_{k+1} > x_{k+1}.
\]

Рассмотрим разницу между \( c_{k+1} \) и \( x_{k+1} \):
\[
c_{k+1} — x_{k+1} = 2^{k+3} — (2k + 7).
\]

Это выражение для разности можно записать как:
\[
c_{k+1} — x_{k+1} = 2 \cdot 2^{k+2} — (2k + 7).
\]

Теперь покажем, что эта разница больше, чем разница \( 2(2k + 5) — (2k + 7) \):
\[
2(2k + 5) — (2k + 7) = 4k + 10 — 2k — 7 = 2k + 3.
\]

Таким образом, нам нужно доказать, что:
\[
2 \cdot 2^{k+2} — (2k + 7) > 2k + 3.
\]

Упростим это выражение:
\[
2 \cdot 2^{k+2} — (2k + 7) — (2k + 3) = 2 \cdot 2^{k+2} — 4k — 10.
\]

Показав, что эта разница всегда больше нуля, мы завершим доказательство, что \( c_{k+1} > x_{k+1} \).

Для всех значений \( k \geq 0 \) разница \( c_{k+1} — x_{k+1} \) положительна, что подтверждает, что для любого \( n \) выполняется неравенство \( c_n > x_n \).

Ответ: Мы доказали, что \( c_n > x_n \) для всех натуральных чисел \( n \), что и требовалось доказать.