ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 699 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Даны последовательности (a_n), где b_n=(n+4)^2. Докажите, что при любом n верно неравенство a_n > b_n.

Даны последовательности:
\(a_n = 2^{n+4}\), \(b_n = (n + 4)^2\);

1) Если \(n = 1\), тогда:
\[
a_1 = 2^{1+4} = 2^5 = 32;
\]

\[
b_1 = (1 + 4)^2 = 5^2 = 25;
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
a_{k+1} — b_{k+1} = 2^{k+5} — (k + 5)^2 = 2 \cdot 2^{k+4} -\]

\[(k + 5)^2 > 2(k + 4)^2 — (k + 5)^2;
\]

\[
= 2(k^2 + 8k + 16) — (k^2 + 10k + 25) = 2k^2 + 16k + 32 — k^2 — 10k — 25;
\]

\[
= k^2 + 6k + 7 > 0, \quad a_n > b_n;
\]

Что и требовалось доказать.

Даны последовательности:

\( a_n = 2^{n+4} \), \( b_n = (n + 4)^2 \);

1) Если \( n = 1 \), тогда:

Рассмотрим последовательность \( a_n = 2^{n+4} \). Для \( n = 1 \) подставляем значение \( n \) в формулу:
\[
a_1 = 2^{1+4} = 2^5 = 32.
\]

Таким образом, \( a_1 = 32 \), что соответствует нашему заданию.

Теперь рассмотрим последовательность \( b_n = (n + 4)^2 \). Для \( n = 1 \) подставляем значение \( n \):
\[
b_1 = (1 + 4)^2 = 5^2 = 25.
\]

Таким образом, \( b_1 = 25 \), что также соответствует заданному значению.

На этом шаге мы проверили, что для \( n = 1 \) равенства выполняются, и значения последовательностей совпадают с заданными.

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Теперь перейдем к доказательству для \( n = k + 1 \). Для этого предположим, что для \( n = k \) выполняется равенство \( a_k > b_k \). Нам нужно доказать, что это же верно для \( n = k + 1 \), то есть доказать, что \( a_{k+1} > b_{k+1} \).

Для этого рассчитаем разницу между \( a_{k+1} \) и \( b_{k+1} \):
\[
a_{k+1} — b_{k+1} = 2^{k+5} — (k + 5)^2.
\]

Подставляем выражение для \( a_{k+1} \):
\[
a_{k+1} = 2^{k+5} = 2 \cdot 2^{k+4}.
\]

Таким образом, разница принимает вид:
\[
a_{k+1} — b_{k+1} = 2 \cdot 2^{k+4} — (k + 5)^2.
\]

Теперь выражение для разницы можно переписать следующим образом:
\[
2(k + 4)^2 — (k + 5)^2 > 0.
\]

Раскроем скобки в обеих частях:
\[
2(k^2 + 8k + 16) — (k^2 + 10k + 25).
\]

Упростим выражение:
\[
= 2k^2 + 16k + 32 — k^2 — 10k — 25 = k^2 + 6k + 7.
\]

Теперь видим, что полученное выражение равно:
\[
S_n — S_{n-1} = k^2 + 6k + 7.
\]

Это выражение всегда больше 0 для всех \( k \geq 1 \). Таким образом, мы получаем, что разница \( a_{k+1} — b_{k+1} > 0 \), то есть:
\[
a_{k+1} > b_{k+1}.
\]

Ответ: Мы доказали, что \( a_n > b_n \), что и требовалось доказать.