ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 698 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если (u_n) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. если u_1=u_2=1, u_n=u_(n-1)+u_(n-2) при n > 2, то при любом n верно равенство:

а) u_1^2+u_2^2+…+u_n^2=u_n·u_(n+1);

б) u_1+u_3+u_5+…+u_(2n-1)=u_(2n).

Задана последовательность:

\(u_1 = u_2 = 1\), \(u_n = u_{n-1} + u_{n-2}\);

a) \(u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}\);

Если \(n = 1\), тогда:
\[
u_1^2 = u_2^2 = 1^2 = 1;
\]

\[
u_n \cdot u_{n+1} = u_1 \cdot u_2 = 1;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_k^2 + u_{k+1}^2 = u_k \cdot u_{k+1} + u_{k+1}^2;
\]

\[
= u_{k+1}(u_k + u_{k+1}) = u_{k+1} \cdot u_{k+2} = u_n \cdot u_{n+1};
\]

Что и требовалось доказать.

b) \(u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n}\);

Если \(n = 1\), тогда:
\[
u_n = u_1 = 1, \quad u_{2n} = u_2 = 1;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
u_1 + u_3 + \dots + u_{2k-1} + u_{2k+1} = u_{2k} + u_{2k+1} = u_{2k+2} = u_{2n};
\]

Что и требовалось доказать.

Задана последовательность:

\( u_1 = u_2 = 1 \), \( u_n = u_{n-1} + u_{n-2} \);

a) \( u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1} \)

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \), тогда:
\[
u_1^2 = u_2^2 = 1^2 = 1;
\]

и

\[
u_n \cdot u_{n+1} = u_1 \cdot u_2 = 1 \cdot 1 = 1.
\]

Это соответствует выражению для \( n = 1 \), то есть равенство выполняется для \( n = 1 \).

Шаг 2: Теперь предположим, что равенство верно для \( n = k \). То есть:
\[
u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_k^2 = u_k \cdot u_{k+1}.
\]

Нужно доказать, что равенство верно для \( n = k + 1 \). Рассмотрим:
\[
u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_k^2 + u_{k+1}^2 = u_k \cdot u_{k+1} + u_{k+1}^2.
\]

Это можно записать как:
\[
= u_{k+1}(u_k + u_{k+1}) = u_{k+1} \cdot u_{k+2}.
\]

Таким образом, мы доказали, что:
\[
u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}.
\]

Ответ: \( u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1} \).

b) \( u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n} \)

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \), тогда:
\[
u_n = u_1 = 1, \quad u_{2n} = u_2 = 1.
\]

Это соответствует выражению для \( n = 1 \), то есть равенство выполняется для \( n = 1 \).

Шаг 2: Теперь предположим, что равенство верно для \( n = k \). То есть:
\[
u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2k-1} = u_{2k}.
\]

Нужно доказать, что равенство верно для \( n = k + 1 \). Рассмотрим:
\[
u_1 + u_3 + \dots + u_{2k-1} + u_{2k+1} = u_{2k} + u_{2k+1} = u_{2k+2} = u_{2n}.
\]

Таким образом, мы доказали, что:
\[
u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n}.
\]

Ответ: \( u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n} \).