ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 697 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Дана последовательность (a_n), в которой a_1=2, 3a_(n+1)=3a_n+1. Докажите, что эту последовательность можно задать формулой a_n=2,5·3^(n-1)-0,5.

Задана последовательность:

\(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = 3a_n + 1\);

1) Если \(n = 1\), тогда:
\[
a_1 = 2,5 \cdot 3^0 — 0,5 = 2;
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
a_{k+1} = 3a_k + 1 = 3(2,5 \cdot 3^{k-1} — 0,5) + 1;
\]

\[
a_{k+1} = 3 \cdot 2,5 \cdot 3^{k-1} — 1,5 + 1 = 2,5 \cdot 3^k — 0,5;
\]

Что и требовалось доказать.

Задана последовательность:

\( a_1 = 2 \), \( a_{n+1} = 3a_n + 1 \);

1) Если \( n = 1 \), тогда:

Мы начинаем с того, что подставим \( n = 1 \) в формулу для \( a_1 \). Согласно предположению, мы хотим доказать, что \( a_1 \) может быть выражено в виде:
\[
a_1 = 2,5 \cdot 3^0 — 0,5.
\]

Здесь \( 3^0 = 1 \), так что мы получаем:
\[
a_1 = 2,5 \cdot 1 — 0,5 = 2,5 — 0,5 = 2.
\]

Это соответствует заданному значению \( a_1 = 2 \), то есть формула для \( a_1 \) выполняется верно.

Таким образом, для \( n = 1 \), равенство выполняется, и мы подтвердили, что оно верно для первого члена последовательности.

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Теперь предположим, что равенство верно для \( n = k \). То есть мы предполагаем, что для некоторого значения \( k \) справедливо следующее выражение для \( a_k \):
\[
a_k = 2,5 \cdot 3^{k-1} — 0,5.
\]

Теперь нам нужно доказать, что это выражение выполняется для \( n = k + 1 \), то есть для следующего члена последовательности \( a_{k+1} \). Для этого мы воспользуемся рекуррентным соотношением:
\[
a_{k+1} = 3a_k + 1.
\]

Подставим нашу гипотезу для \( a_k \) в это рекуррентное соотношение:
\[
a_{k+1} = 3\left( 2,5 \cdot 3^{k-1} — 0,5 \right) + 1.
\]

Раскроем скобки:
\[
a_{k+1} = 3 \cdot 2,5 \cdot 3^{k-1} — 3 \cdot 0,5 + 1.
\]

Упростим выражение:
\[
a_{k+1} = 7,5 \cdot 3^{k-1} — 1,5 + 1 = 7,5 \cdot 3^{k-1} — 0,5.
\]

Теперь заметим, что \( 7,5 = 2,5 \cdot 3 \), то есть:
\[
a_{k+1} = 2,5 \cdot 3 \cdot 3^{k-1} — 0,5 = 2,5 \cdot 3^k — 0,5.
\]

Это и есть нужное нам выражение для \( a_{k+1} \). Мы доказали, что если \( a_k = 2,5 \cdot 3^{k-1} — 0,5 \), то для следующего члена последовательности \( a_{k+1} = 2,5 \cdot 3^k — 0,5 \).

Ответ: Мы доказали, что \( a_n = 2,5 \cdot 3^n — 0,5 \), что и требовалось доказать.