ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 696 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Последовательность (a_n) задана рекуррентным соотношением

a_1=3, a_2=5, a_(n+2)=3a_(n+1)-2a_n.

Докажите, что эту последовательность можно задать формулой a_n=2^n+1.

Задана последовательность:

\(a_1 = 3\), \(a_2 = 5\), \(a_{n+2} = 3a_{n+1} — 2a_n\);

1) Если \(n = 1\), тогда:
\[
a_1 = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3;
\]

2) Если \(n = 2\), тогда:
\[
a_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5;
\]

3) Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
a_{k+1} = 3a_k — 2a_{k-1} = 3(2^k + 1) — 2(2^{k-1} + 1);
\]

\[
a_{k+1} = 3 \cdot 2^k + 3 — 2 \cdot 2^{k-1} — 2 = 2 \cdot 2^k + 1 = 2^{k+1} + 1;
\]

Что и требовалось доказать.

Задана последовательность:

\( a_1 = 3 \), \( a_2 = 5 \), \( a_{n+2} = 3a_{n+1} — 2a_n \);

1) Если \( n = 1 \), тогда:

Подставим \( n = 1 \) в выражение для \( a_1 \):
\[
a_1 = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3.
\]

Это соответствует заданному значению \( a_1 = 3 \).

2) Если \( n = 2 \), тогда:

Подставим \( n = 2 \) в выражение для \( a_2 \):
\[
a_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5.
\]

Это соответствует заданному значению \( a_2 = 5 \).

3) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Рассмотрим рекуррентное соотношение \( a_{n+2} = 3a_{n+1} — 2a_n \). Для \( n = k \) имеем:
\[
a_{k+1} = 3a_k — 2a_{k-1} = 3(2^k + 1) — 2(2^{k-1} + 1).
\]

Раскроем скобки:
\[
a_{k+1} = 3 \cdot 2^k + 3 — 2 \cdot 2^{k-1} — 2.
\]

Упростим:
\[
a_{k+1} = 2 \cdot 2^k + 1 = 2^{k+1} + 1.
\]

Таким образом, мы доказали, что \( a_{k+1} = 2^{k+1} + 1 \), что и требовалось доказать.

Ответ: \( a_n = 2^n + 1 \).