ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 695 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n:

а) 1/(1·4)+1/(4·7)+1/(7·10)+…+1/((3n-2)(3n+1))=n/(3n+1);

б) 1/(1·5)+1/(5·9)+1/(9·13)+…+1/((4n-3)(4n+1))=n/(4n+1).

Доказать равенство:
а)

\[
\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(3n — 2)(3n + 1)} = \frac{n}{3n + 1};
\]
Если \(n = 1\), тогда:

\[
S = \frac{1}{3 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{4};
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{k + 1}{3k + 4} — \frac{k}{3k + 1};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(3k + 1) — k(3k + 4)}{(3k + 1)(3k + 4)};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{3k^2 + k + 3k + 1 — 3k^2 — 4k}{(3k + 1)(3k + 4)} = \frac{1}{(3k + 1)(3k + 4)};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{(3n — 2)(3n + 1)};
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \ldots + \frac{1}{(4n — 3)(4n + 1)} = \frac{n}{4n + 1};
\]

Если \(n = 1\), тогда:

\[
S = \frac{1}{4 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{5};
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{k + 1}{4k + 5} — \frac{k}{4k + 1};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(4k + 1) — k(4k + 5)}{(4k + 1)(4k + 5)};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{4k^2 + k + 4k + 1 — 4k^2 — 5k}{(4k + 1)(4k + 5)} = \frac{1}{(4k + 1)(4k + 5)};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{(4n — 3)(4n + 1)};
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

a)
\[
\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(3n — 2)(3n + 1)} = \frac{n}{3n + 1}.
\]

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \), то:
\[
S = \frac{1}{3 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{4}.
\]

Это соответствует сумме \( \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4} \).

Шаг 2: Рассмотрим разницу \( S_n — S_{n-1} \) для \( n = k + 1 \):
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{k + 1}{3k + 4} — \frac{k}{3k + 1}.
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(3k + 1) — k(3k + 4)}{(3k + 1)(3k + 4)}.
\]

Раскроем скобки:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{3k^2 + k + 3k + 1 — 3k^2 — 4k}{(3k + 1)(3k + 4)}.
\]

Упростим выражение:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{(3k + 1)(3k + 4)}.
\]

Что равно:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{(3n — 2)(3n + 1)}.
\]

Это завершает доказательство для части (a).

Ответ: \( \frac{n}{3n + 1} \).

b)
\[
\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \ldots + \frac{1}{(4n — 3)(4n + 1)} = \frac{n}{4n + 1}.
\]

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \), то:
\[
S = \frac{1}{4 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{5}.
\]

Это соответствует сумме \( \frac{1}{1 \cdot 5} = \frac{1}{5} \).

Шаг 2: Рассмотрим разницу \( S_n — S_{n-1} \) для \( n = k + 1 \):
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{k + 1}{4k + 5} — \frac{k}{4k + 1}.
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(4k + 1) — k(4k + 5)}{(4k + 1)(4k + 5)}.
\]

Раскроем скобки:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{4k^2 + k + 4k + 1 — 4k^2 — 5k}{(4k + 1)(4k + 5)}.
\]

Упростим выражение:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{(4k + 1)(4k + 5)}.
\]

Что равно:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{(4n — 3)(4n + 1)}.
\]

Это завершает доказательство для части (b).

Ответ: \( \frac{n}{4n + 1} \).