ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 694 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выведите формулу суммы первых n членов последовательности

1/(1·3), 1/(3·5), 1/(5·7), …, 1/((2n-1)(2n+1)), … .

Вывести формулу суммы:
\[
S(1) = \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3};
\]

\[
S(2) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{5 + 1}{15} = \frac{2}{5};
\]

\[
S(3) = \frac{2}{5} + \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{14 + 1}{35} = \frac{3}{7};
\]

\[
S(4) = \frac{3}{7} + \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{27 + 1}{63} = \frac{4}{9};
\]

1) Сделаем предположение:
\[
\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n + 1};
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{k + 1}{2k + 3} — \frac{k}{2k + 1};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(2k + 1) — k(2k + 3)}{(2k + 1)(2k + 3)};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{2k^2 + k + 2k + 1 — 2k^2 — 3k}{(2k + 1)(2k + 3)};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{1}{(2n — 1)(2n + 1)};
\]

Ответ: \(\frac{n}{2n + 1}\).

Вывести формулу суммы:

\( S(1) = \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}; \)

\( S(2) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{5 + 1}{15} = \frac{2}{5}; \)

\( S(3) = \frac{2}{5} + \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{14 + 1}{35} = \frac{3}{7}; \)

\( S(4) = \frac{3}{7} + \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{27 + 1}{63} = \frac{4}{9}; \)

1) Сделаем предположение:

Предположим, что сумма имеет вид:
\[
\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n + 1}.
\]

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Рассмотрим разницу \( S_n — S_{n-1} \), где \( S_n \) — это сумма для \( n = k + 1 \), а \( S_{n-1} \) — для \( n = k \):
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{k + 1}{2k + 3} — \frac{k}{2k + 1}.
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(2k + 1) — k(2k + 3)}{(2k + 1)(2k + 3)}.
\]

Раскроем скобки в числителе:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{2k^2 + k + 2k + 1 — 2k^2 — 3k}{(2k + 1)(2k + 3)}.
\]

Упростим выражение:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{(2k + 1)(2k + 3)}.
\]

Это выражение равно:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{(2n — 1)(2n + 1)}.
\]

Таким образом, мы доказали, что:
\[
\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n + 1}.
\]

Ответ: \(\frac{n}{2n + 1}\).