ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 693 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что сумма S_n первых n членов последовательности

1/7, 1/7^2, 1/7^3, …, 1/7^n, …

может быть вычислена по формуле S_n=(7^n-1)/(6·7^n).

Доказать равенство:
\[
\frac{1}{7} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{7^3} + \ldots + \frac{1}{7^n} = \frac{7^n — 1}{6 \cdot 7^n};
\]

1) Если \(n = 1\), тогда:
\[
S = \frac{7 — 1}{6 \cdot 7} = \frac{6}{6 \cdot 7} = \frac{1}{7};
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{7^{k+1} — 1}{6 \cdot 7^{k+1}} — \frac{7^k — 1}{6 \cdot 7^k};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{6} \left( \frac{7 \cdot 7^k — 1}{7 \cdot 7^k} — \frac{7 \cdot (7^k — 1)}{7 \cdot 7^k} \right);
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{7 \cdot 7^k — 1 — 7 \cdot 7^k + 7}{6 \cdot 7^{k+1}} = \frac{1}{7^{k+1}};
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

\[
\frac{1}{7} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{7^3} + \ldots + \frac{1}{7^n} = \frac{7^n — 1}{6 \cdot 7^n}
\]

1) Если \( n = 1 \), тогда:

Подставим \( n = 1 \) в правую часть:
\[
S = \frac{7 — 1}{6 \cdot 7} = \frac{6}{6 \cdot 7} = \frac{1}{7}.
\]

Это соответствует сумме \( \frac{1}{7} \) для \( n = 1 \).

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Рассмотрим разницу \( S_n — S_{n-1} \), где \( S_n \) — это сумма ряда для \( n = k + 1 \), а \( S_{n-1} \) — для \( n = k \):
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{7^{k+1} — 1}{6 \cdot 7^{k+1}} — \frac{7^k — 1}{6 \cdot 7^k}.
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{6} \left( \frac{7 \cdot 7^k — 1}{7 \cdot 7^k} — \frac{7 \cdot (7^k — 1)}{7 \cdot 7^k} \right).
\]

Упростим выражение в числителе:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{7 \cdot 7^k — 1 — 7 \cdot 7^k + 7}{6 \cdot 7^{k+1}} = \frac{1}{7^{k+1}}.
\]

Это завершает доказательство.

Ответ: Мы доказали, что
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{7 \cdot 7^k — 1 — 7 \cdot 7^k + 7}{6 \cdot 7^{k+1}} = \frac{1}{7^{k+1}};
\]