ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 692 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n:

а) 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=n(n+1)(2n+1)/3;

б) 1·4+2·7+3·10+…+n(3n+1)=n(n+1)^2;

в) 1^2-2^2+3^2-4^2+…+(-1)^(n+1) n^2=(-1)^(n+1) n(n+1)/2.

Доказать равенство:
a) \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{3}\);

Если \(n = 1\), тогда:
\[
S = \frac{1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 + 1)}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2;
\]

Если \(n = 2\), тогда:
\[
S = \frac{2 \cdot (2 + 1) \cdot (4 + 1)}{3} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{3} = 2 \cdot 5 = 10;
\]

Равенство не выполняется.

б) \(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \ldots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2\);

Если \(n = 1\), тогда:
\[
S = 1 \cdot (1 \cdot 3 + 1) = 1 \cdot 2^2 = 4;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
S_n — S_{n-1} = (k + 1)(k + 2)^2 — k(k + 1)^2;
\]

\[
S_n — S_{n-1} = (k + 1)(k^2 + 4k + 4 — k^2 — k);
\]

\[
S_n — S_{n-1} = (k + 1)(3k + 4) = n(3n + 1);
\]

Что и требовалось доказать.

в) \(1^2 — 2^2 + 3^2 — \ldots + (-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1}\frac{n(n + 1)}{2}\);

Если \(n = 1\), тогда:
\[
S = (-1)^2 \cdot \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
S_n — S_{n-1} = (-1)^{k+2} \cdot \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} — (-1)^{k+1} \cdot \frac{(k + 1)}{2};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = (-1)^{k+2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (k + 1) \cdot (k + 2 + k);
\]

\[
S_n — S_{n-1} = (-1)^{k+2} \cdot (k + 1)^2 = (-1)^{n+1}n^2;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

a) \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{3}\)

Шаг 1: Если \( n = 1 \), то:
\[
S = \frac{1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 + 1)}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2.
\]

Это соответствует сумме \( 1 \cdot 2 \) для \( n = 1 \).

Шаг 2: Если \( n = 2 \), то:
\[
S = \frac{2 \cdot (2 + 1) \cdot (4 + 1)}{3} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{3} = 2 \cdot 5 = 10.
\]

Это не соответствует сумме \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \), которая равна 8.

Ответ: Равенство не выполняется.

b) \(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \ldots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2\)

Шаг 1: Если \( n = 1 \), то:
\[
S = 1 \cdot (1 \cdot 3 + 1) = 1 \cdot 2^2 = 4.
\]

Это соответствует сумме \( 1 \cdot 4 \) для \( n = 1 \).

Шаг 2: Рассмотрим разницу \( S_n — S_{n-1} \) для \( n = k + 1 \):
\[
S_n — S_{n-1} = (k + 1)(k + 2)^2 — k(k + 1)^2.
\]

Приводим к общему знаменателю и упрощаем:
\[
S_n — S_{n-1} = (k + 1)(k^2 + 4k + 4 — k^2 — k) =\]

\[(k + 1)(3k + 4) = n(3n + 1).
\]

Это доказательство завершает выполнение равенства.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) \(1^2 — 2^2 + 3^2 — \ldots + (-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1}\frac{n(n + 1)}{2}\)

Шаг 1: Если \( n = 1 \), то:
\[
S = (-1)^2 \cdot \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.
\]

Это соответствует сумме \( 1^2 \) для \( n = 1 \).

Шаг 2: Рассмотрим разницу \( S_n — S_{n-1} \) для \( n = k + 1 \):
\[
S_n — S_{n-1} = (-1)^{k+2} \cdot \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} — (-1)^{k+1} \cdot \frac{(k + 1)}{2}.
\]

Раскроем скобки:
\[
S_n — S_{n-1} = (-1)^{k+2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (k + 1) \cdot (k + 2 + k).
\]

Упростим:
\[
S_n — S_{n-1} = (-1)^{k+2} \cdot (k + 1)^2 = (-1)^{n+1}n^2.
\]

Это завершает доказательство.

Ответ: Что и требовалось доказать.