ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 691 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выведите формулу суммы первых n нечётных натуральных чисел.

Формула суммы всех первых \(n\) нечётных натуральных чисел:

\[
S(1) = 1, \quad S(2) = 1 + 3 = 4; \quad S(3) =\]

\[1 + 3 + 5 = 9; \quad S(4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16;
\]

1) Сделаем предположение:

\[
1 + 3 + 5 + \ldots + (2n — 1) = n^2;
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
S_n — S_{n-1} = (k + 1)^2 — k^2;
\]

\[
S_n — S_{n-1} = k^2 + 2k + 1 — k^2;
\]

\[
S_n — S_{n-1} = 2k + 1 = 2n — 1;
\]

Ответ: \(n^2\).

Формула суммы всех первых \(n\) нечётных натуральных чисел:

\[
S(1) = 1, \quad S(2) = 1 + 3 = 4; \quad S(3) = 1 + 3 + 5 = 9; \quad S(4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16;
\]

1) Сделаем предположение:

Предположим, что сумма всех первых \(n\) нечётных натуральных чисел равна \(n^2\), то есть:
\[
1 + 3 + 5 + \ldots + (2n — 1) = n^2.
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:

Рассмотрим разницу \(S_n — S_{n-1}\), где \(S_n\) — это сумма первых \(n\) нечётных чисел, а \(S_{n-1}\) — это сумма первых \(n-1\) нечётных чисел:
\[
S_n — S_{n-1} = (k + 1)^2 — k^2.
\]

Раскроем скобки:
\[
S_n — S_{n-1} = k^2 + 2k + 1 — k^2.
\]

Упростим выражение:
\[
S_n — S_{n-1} = 2k + 1.
\]

Но, так как \(2k + 1\) — это именно следующее нечётное число \(2n — 1\), то:
\[
S_n — S_{n-1} = 2n — 1.
\]

Таким образом, мы доказали, что:
\[
S_n = n^2.
\]

Ответ: \(S_n = n^2\).