ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 690 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите формулу

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,

доказанную в 111 в. до н. э. Архимедом (287—212 гг. до н. э.).

Доказать равенство:
\[
1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};
\]

1) Если \(n = 1\), тогда:
\[
S = \frac{1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 + 1)}{6} = \frac{2 \cdot 3}{6} = 1;
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} — \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} =
\]

\[
= \frac{(k + 1)(2k^2 + 3k + 4k + 6 — 2k^2 — k)}{6} = (k + 1)^2;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

\[
1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

1) Если \( n = 1 \), тогда:

Подставим \( n = 1 \) в правую часть:
\[
S = \frac{1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 + 1)}{6} = \frac{2 \cdot 3}{6} = 1.
\]

Это соответствует сумме квадратов чисел, если \( n = 1 \).

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Предположим, что формула верна для \( n = k \). То есть:
\[
S_k = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.
\]

Нужно доказать, что формула верна для \( n = k + 1 \).

Для этого рассмотрим разницу:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} — \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}.
\]

Приведем к общему знаменателю:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)((k + 2)(2k + 3) — k(2k + 1))}{6}.
\]

Теперь раскроем скобки:

\[
(k + 2)(2k + 3) = 2k^2 + 3k + 4k + 6 = 2k^2 + 7k + 6,
\]

\[
k(2k + 1) = 2k^2 + k.
\]

Подставим эти выражения:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(2k^2 + 7k + 6 — 2k^2 — k)}{6}.
\]

Упростим числитель:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(6k + 6)}{6} = (k + 1)^2.
\]

Таким образом, разница \( S_n — S_{n-1} \) равна \( (k + 1)^2 \), что и требовалось доказать.

Ответ: Мы доказали, что последовательность \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \), что и требовалось доказать.