ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 689 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) сумма первых n натуральных чисел равна n(n+1)/2;

б) сумма кубов первых n натуральных чисел равна n^2 (n+1)^2/4.

Доказать равенство:

а)
\[
1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Если \(n = 1\), тогда:
\[
S = \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} — \frac{k(k + 1)}{2};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{2}(k + 1) \cdot 2 = k + 1;
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}
\]

Если \(n = 1\), тогда:

\[
S = \frac{1^2 \cdot (1 + 1)^2}{4} = \frac{2^2}{4} = 1;
\]

Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4} — \frac{k^2(k + 1)^2}{4};
\]

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{4}(k + 1)^2 \cdot (k^2 + 4k + 4 — k^2) = (k + 1)^3;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

а)

Дано равенство:
\[
1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \):
\[
S = \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1.
\]

Это соответствует сумме всех членов, если \( n = 1 \).

Шаг 2: Предположим, что равенство верно для \( n = k \). То есть:
\[
1 + 2 + 3 + \ldots + k = \frac{k(k + 1)}{2}.
\]

Нужно доказать, что оно верно для \( n = k + 1 \).

Для этого рассмотрим разницу \( S_n — S_{n-1} \):
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} — \frac{k(k + 1)}{2}.
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{2}(k + 1) \cdot 2 = k + 1.
\]

Таким образом, мы доказали, что \( S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2} \), что и требовалось доказать.

б)

Дано равенство:
\[
1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}
\]

Шаг 1: Проверим, если \( n = 1 \):
\[
S = \frac{1^2 \cdot (1 + 1)^2}{4} = \frac{2^2}{4} = 1.
\]

Это соответствует сумме кубов, если \( n = 1 \).

Шаг 2: Предположим, что равенство верно для \( n = k \). То есть:
\[
1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4}.
\]

Нужно доказать, что оно верно для \( n = k + 1 \).

Для этого рассмотрим разницу \( S_n — S_{n-1} \):
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4} — \frac{k^2(k + 1)^2}{4}.
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
S_n — S_{n-1} = \frac{1}{4}(k + 1)^2 \cdot \left((k + 2)^2 — k^2\right) = (k + 1)^3.
\]

Таким образом, мы доказали, что \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} \), что и требовалось доказать.