ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 687 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что последовательность (u_n) является убывающей, если:

а) u_n=12·(0,5)^n-1; б) u_n=(n+4)/(n^2+2).

Доказать, что заданная (\(u_n\)) последовательность убывает:

а)
\[
u_n = 12 \cdot (0,5)^n — 1;
\]

\[
u_{n+1} = 12 \cdot (0,5)^{n+1} — 1;
\]

\[
u_{n+1} = 6 \cdot (0,5)^n — 1;
\]

\[
u_{n+1} — u_n = -6 \cdot (0,5)^n < 0;
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
u_n = \frac{n + 4}{n^2 + 2};
\]

\[
u_{n+1} = \frac{(n + 1) + 4}{(n + 1)^2 + 2} = \frac{n + 5}{n^2 + 2n + 3};
\]

\[
d = u_{n+1} — u_n = \frac{(n + 5)(n^2 + 2) — (n + 4)(n^2 + 2n + 3)}{(n^2 + 2)(n^2 + 2n + 3)};
\]

\[
d = \frac{-n^3 + 2n + 5n^2 + 10 — n^3 — 2n^2 — 3n — 4n^2 — 8n — 12}{(n^2 + 2)(n^2 + 2n + 3)};
\]

\[
d = \frac{-n^2 + 9n + 2}{(n^2 + 2)(n^2 + 2n + 3)};
\]

\[
u_{n+1} — u_n = -\frac{n^2 + 9n + 2}{(n^2 + 2)(n^2 + 2n + 3)} < 0;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать, что заданная (\(u_n\)) последовательность убывает:

а)

Дано:
\( u_n = 12 \cdot (0,5)^n — 1 \).

Шаг 1: Рассмотрим выражение для \( u_{n+1} \):
\[
u_{n+1} = 12 \cdot (0,5)^{n+1} — 1 = 6 \cdot (0,5)^n — 1.
\]

Шаг 2: Теперь найдем разницу \( u_{n+1} — u_n \):
\[
u_{n+1} — u_n = (6 \cdot (0,5)^n — 1) — (12 \cdot (0,5)^n — 1) = -6 \cdot (0,5)^n.
\]

Так как \( (0,5)^n > 0 \) для всех \(n \geq 0\), мы получаем:

\[
u_{n+1} — u_n = -6 \cdot (0,5)^n < 0.
\]

Таким образом, разница \( u_{n+1} — u_n \) всегда отрицательна, что означает, что последовательность убывает.

Ответ: Что и требовалось доказать.
Ответ: убывает.

б)

Дано:
\( u_n = \frac{n + 4}{n^2 + 2} \).
Шаг 1: Рассмотрим выражение для \( u_{n+1} \):
\[
u_{n+1} = \frac{(n + 1) + 4}{(n + 1)^2 + 2} = \frac{n + 5}{n^2 + 2n + 3}.
\]

Шаг 2: Рассчитаем разницу \( u_{n+1} — u_n \):
\[
d = u_{n+1} — u_n = \frac{(n + 5)(n^2 + 2) — (n + 4)(n^2 + 2n + 3)}{(n^2 + 2)(n^2 + 2n + 3)}.
\]

Шаг 3: Раскроем скобки в числителе:
\[
d = \frac{(n + 5)(n^2 + 2) — (n + 4)(n^2 + 2n + 3)}{(n^2 + 2)(n^2 + 2n + 3)}.
\]

Разложим оба произведения:
\[
(n + 5)(n^2 + 2) = n^3 + 5n^2 + 2n + 10,
\]

\[
(n + 4)(n^2 + 2n + 3) = n^3 + 4n^2 + 3n + 4n^2 + 8n + 12.
\]

Шаг 4: Теперь вычитаем второй результат из первого:
\[
d = \frac{-n^3 + 2n + 5n^2 + 10 — n^3 — 2n^2 — 3n — 4n^2 — 8n — 12}{(n^2 + 2)(n^2 + 2n + 3)}.\]
Упростим числитель:
\[
d = \frac{-n^2 + 9n + 2}{(n^2 + 2)(n^2 + 2n + 3)}.
\]

Шаг 5: Так как числитель имеет знак минус, то:
\[
u_{n+1} — u_n = -\frac{n^2 + 9n + 2}{(n^2 + 2)(n^2 + 2n + 3)} < 0.
\]

Это означает, что последовательность убывает.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Ответ: убывает.