ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 686 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли ограниченной последовательность (a_n), если:

а) a_n={n^2-4n+3}; б) a_n=[n^2-4n+3]; в) a_n=sgn(n^2-4n+3)?

Ограничена ли заданная последовательность (\(a_n\)):

а)
\[
a_n = \{n^2 — 4n + 3\};
\]

\[
0 \leq \{n^2 — 4n + 3\} < 1;
\]

Ответ: да.

б)
\[
a_n = [n^2 — 4n + 3];
\]

\[
n_0 = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2;
\]

\[
a_2 = 4 — 8 + 3 = -1;
\]

\[
[n^2 — 4n + 3] \geq -1;
\]

Ответ: нет.

в)
\[
a_n = \text{sgn}(n^2 — 4n + 3);
\]

\[
-1 \leq \text{sgn}(n^2 — 4n + 3) \leq 1;
\]

Ответ: да.

Ограничена ли заданная последовательность (\(a_n\)):

а)

Дано:
\( a_n = \{n^2 — 4n + 3\} \), где \(\{ \cdot \}\) обозначает дробную часть числа.
Шаг 1: Мы знаем, что дробная часть любого числа всегда лежит в интервале от 0 до 1, то есть для любого \(x\):
\[
0 \leq \{x\} < 1.
\]

Это означает, что для последовательности \(a_n = \{n^2 — 4n + 3\}\), она будет ограничена снизу 0 и сверху 1, то есть:

\[
0 \leq \{n^2 — 4n + 3\} < 1.
\]

Ответ: Последовательность \(a_n\) ограничена.
Ответ: да.

б)

Дано:
\( a_n = [n^2 — 4n + 3] \), где \([ \cdot ]\) обозначает целую часть числа.
Шаг 1: Рассмотрим функцию \(f(n) = n^2 — 4n + 3\). Это парабола, которая достигает минимума в точке \(n_0 = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2\), так как это квадратичная функция, и её вершина находится в этой точке.
Подставим \(n = 2\) в выражение для \(f(n)\):

\[
a_2 = 2^2 — 4(2) + 3 = 4 — 8 + 3 = -1.
\]

Следовательно, минимальное значение функции — это -1.

Шаг 2: Так как целая часть числа \(n^2 — 4n + 3\) всегда больше или равна -1, то:

\[
[n^2 — 4n + 3] \geq -1.
\]

Парабола стремится к бесконечности с увеличением \(n\), и нет верхней границы для последовательности \(a_n\).

Ответ: Последовательность не ограничена.
Ответ: нет.

в)

Дано:
\( a_n = \text{sgn}(n^2 — 4n + 3) \), где \(\text{sgn}(x)\) — это знак числа \(x\), принимающий значения:
\[
\text{sgn}(x) =
\begin{cases}
1, & \text{если } x > 0, \\
0, & \text{если } x = 0, \\
-1, & \text{если } x < 0.
\end{cases}
\]
Шаг 1: Рассмотрим выражение \( n^2 — 4n + 3 \). Это парабола, которая меняет знак в точках, где \(n^2 — 4n + 3 = 0\). Решим это уравнение:

\[
n^2 — 4n + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad (n — 1)(n — 3) = 0.
\]

Таким образом, \(n = 1\) и \(n = 3\) — это корни параболы. Для \(n \in (1, 3)\) выражение \(n^2 — 4n + 3\) будет отрицательным, а для \(n < 1\) и \(n > 3\) — положительным.
Следовательно, знак функции \(n^2 — 4n + 3\) будет принимать значения от -1 до 1:

\[
-1 \leq \text{sgn}(n^2 — 4n + 3) \leq 1.
\]

Ответ: Последовательность \(a_n = \text{sgn}(n^2 — 4n + 3)\) ограничена.
Ответ: да.