ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 685 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что (a_n) и (b_n) — ограниченные последовательности. Является ли ограниченной последовательность (u_n), если:

а) u_n=a_n+b_n; б) u_n=a_n-b_n; в) u_n=a_n b_n?

Даны последовательности:
\( M_1 \leq a_n \leq M_2, \ M_3 \leq b_n \leq M_4; \)

а)
\[
u_n = a_n + b_n;
\]

\[
M_1 + M_3 \leq u_n \leq M_2 + M_4;
\]

Ответ: ограничена.

б)

\[
u_n = a_n — b_n;
\]

\[
M_1 — M_4 \leq u_n \leq M_2 — M_3;
\]

Ответ: ограничена.

в)
\[
u_n = a_n b_n;
\]

\[
k_1 \leq a_n b_n \leq k_2;
\]

\(k_1\) — меньшее из чисел:

\[
M_1 \cdot M_3, \ M_1 \cdot M_4, \ M_3 \cdot M_2;
\]

\(k_2\) — большее из чисел:

\[
M_2 \cdot M_3, \ M_2 \cdot M_4, \ M_4 \cdot M_1;
\]

Ответ: ограничена.

Даны последовательности: \( M_1 \leq a_n \leq M_2, \ M_3 \leq b_n \leq M_4; \)

а)

Дано:
\( u_n = a_n + b_n \).
Шаг 1: Рассмотрим границы для последовательности \( u_n \). Поскольку \( a_n \) ограничена от \( M_1 \) до \( M_2 \), а \( b_n \) — от \( M_3 \) до \( M_4 \), то для суммы этих последовательностей имеем:

\[
M_1 + M_3 \leq u_n \leq M_2 + M_4.
\]

Это означает, что последовательность \( u_n \) ограничена сверху и снизу.

Ответ: Последовательность \( u_n \) ограничена.
Ответ: ограничена.

б)

Дано:
\( u_n = a_n — b_n \).
Шаг 1: Рассмотрим границы для последовательности \( u_n \). Поскольку \( a_n \) ограничена от \( M_1 \) до \( M_2 \), а \( b_n \) — от \( M_3 \) до \( M_4 \), то для разности этих последовательностей имеем:

\[
M_1 — M_4 \leq u_n \leq M_2 — M_3.
\]

Это также означает, что последовательность \( u_n \) ограничена сверху и снизу.

Ответ: Последовательность \( u_n \) ограничена.
Ответ: ограничена.

в)

Дано:
\( u_n = a_n b_n \).
Шаг 1: Рассмотрим произведение \( a_n \) и \( b_n \). Чтобы найти границы для последовательности \( u_n \), необходимо найти минимальное и максимальное значения произведения:
\[
k_1 \leq a_n b_n \leq k_2,
\]

где \( k_1 \) — это меньшее из чисел:

\[
k_1 = \min(M_1 \cdot M_3, \ M_1 \cdot M_4, \ M_3 \cdot M_2),
\]

а \( k_2 \) — это большее из чисел:

\[
k_2 = \max(M_2 \cdot M_3, \ M_2 \cdot M_4, \ M_4 \cdot M_1).
\]

Это даст нам границы для произведения последовательностей \( a_n \) и \( b_n \).

Ответ: Таким образом, последовательность \( u_n = a_n b_n \) также ограничена.
Ответ: ограничена.