ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 684 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Укажите, если возможно, значенияa a и b, при которых все члены последовательности изображаются в координатной плоскости точками, принадлежащими полосе, ограниченной прямыми y=a и y=b:

а) p_n=(3n+2)/(n+3); б) p_n=5·(1/2)^n; в) p_n=n^2-6n.

Члены последовательности принадлежат отрезку [a; b]:

а)
\[
P_n = \frac{3n + 2}{n + 3};
\]

\[
P_n = \frac{3(n + 3) — 7}{n + 3} = 3 — \frac{7}{n + 3};
\]

\(n \geq 1\), \(n + 3 \geq 4;\)

\(3n + 2 \geq 5;\)

\[
1,25 \leq \frac{3n + 2}{n + 3} < 3;
\]

Ответ: \([1,25; 3]\).

б)
\[
P_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n;
\]

\(n \geq 1,\) \(0 < 1 \leq \frac{1}{2};\)

\[
0 < 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \leq 2,5;
\]

Ответ: \([0; 2,5]\).

в)

\[
P_n = n^2 — 6n;
\]

\[
P_0 = -6, P_1 = -5, P_2 = -2, P_3 = 9 — 18 = -9;
\]

\[
n^2 — 6n \geq -9;
\]

Ответ: нет.

Члены последовательности принадлежат отрезку [a; b]:

а)

Дано:
\( P_n = \frac{3n + 2}{n + 3} \).
Шаг 1: Перепишем выражение для \( P_n \), выделив 3 из числителя:
\[
P_n = \frac{3(n + 3) — 7}{n + 3} = 3 — \frac{7}{n + 3}.
\]
Таким образом, последовательность \( P_n \) принимает вид \( 3 — \frac{7}{n + 3} \).

Шаг 2: Рассмотрим ограничения для \( n \geq 1 \), что дает:
\[
n + 3 \geq 4 \quad \text{и} \quad 3n + 2 \geq 5.
\]
Эти неравенства ограничивают последовательность с нижней границей 1,25 и верхней границей 3:
\[
1,25 \leq \frac{3n + 2}{n + 3} < 3.
\]

Ответ: Таким образом, последовательность \( P_n \) лежит на отрезке \([1,25; 3]\).
Ответ: \([1,25; 3]\).

б)

Дано:
\( P_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \).
Шаг 1: Рассмотрим поведение данной последовательности. Поскольку \( \left(\frac{1}{2}\right)^n \) убывает с увеличением \(n\), то последовательность будет ограничена сверху и снизу.
Для \( n \geq 1 \), имеем:
\[
0 < 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \leq 2,5.
\]

Ответ: Таким образом, последовательность \( P_n \) лежит на отрезке \([0; 2,5]\).
Ответ: \([0; 2,5]\).

в)

Дано:
\( P_n = n^2 — 6n \).
Шаг 1: Рассмотрим значения последовательности для некоторых значений \(n\):
\[
P_0 = -6, \quad P_1 = -5, \quad P_2 = -2, \quad P_3 = 9 — 18 = -9.
\]

Шаг 2: Проанализируем выражение для \( P_n = n^2 — 6n \). Из этого видно, что последовательность не ограничена снизу, так как \( P_n \) может принимать значения как отрицательные, так и положительные, и она не имеет нижней границы (например, \( P_3 = -9 \)).

Ответ: Таким образом, последовательность не принадлежит отрезку, так как значения могут быть произвольно малы.
Ответ: нет.