ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 683 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Укажите, если возможно, какой-либо промежуток [a; b] на координатной прямой, которому принадлежат все точки, изображающие члены последовательности (c_n), если:

а) c_n=(3n+2)/2; б) c_n=(n+1)/(n+8); в) c_n=(-1/6)^n.

Члены последовательности принадлежат отрезку [a; b]:

a)
\[
c_n = \frac{3n + 2}{2};
\]
\(n \geq 1\), \(3n + 2 \geq 5\);

\[
\frac{3n + 2}{2} \geq \frac{5}{2} = 2.5;
\]

Ответ: нет.

б)
\[
c_n = \frac{n + 1}{n + 8};
\]

\[
c_n = \frac{(n + 8) — 7}{n + 8};
\]

\[
c_n = 1 — \frac{7}{n + 8};
\]

\(n \geq 1\), \(n + 1 \geq 2\);

\(n + 8 \geq 9\);

\[
\frac{2}{9} \leq \frac{n + 1}{n + 8} < 1;
\]

Ответ: \([ \frac{2}{9}; 1 ]\).

в)
\[
c_n = \left(-\frac{1}{6}\right)^n;
\]

\[
-\frac{1}{6} \leq \left(-\frac{1}{6}\right)^n \leq \frac{1}{36};
\]

Ответ: \([- \frac{1}{6}; \frac{1}{36}]\).

Члены последовательности принадлежат отрезку [a; b]:

a)

Дано:
\( c_n = \frac{3n + 2}{2} \), \(n \geq 1\).
Шаг 1: Рассмотрим неравенство \( 3n + 2 \geq 5 \), которое определяет возможные значения членов последовательности:
\[
3n + 2 \geq 5 \Rightarrow 3n \geq 3 \Rightarrow n \geq 1.
\]
Мы видим, что для всех \(n \geq 1\), выражение \(3n + 2\) всегда будет больше или равно 5.

Шаг 2: Теперь вычислим минимальное значение последовательности \( c_n \), подставив \(n = 1\) (минимальное значение \(n\)):
\[
c_1 = \frac{3(1) + 2}{2} = \frac{5}{2} = 2.5.
\]
Таким образом, \( c_n \geq 2.5 \) для всех \(n \geq 1\).

Шаг 3: Рассмотрим, что последовательность \( c_n = \frac{3n + 2}{2} \) не ограничена сверху и растет с увеличением \(n\), потому что \( 3n + 2 \) возрастает с увеличением \(n\).

Ответ: Поскольку \( c_n \geq 2.5 \), но оно не ограничено сверху, последовательность не принадлежит отрезку \([a; b]\) для всех \(a \leq c_n \leq b\).
Ответ: нет.

b)

Дано:
\( c_n = \frac{n + 1}{n + 8} \).
Шаг 1: Перепишем выражение для \( c_n \), выделив 1 из дроби:
\[
c_n = \frac{n + 8 — 7}{n + 8} = 1 — \frac{7}{n + 8}.
\]
Это позволяет лучше понять поведение последовательности.

Шаг 2: Рассмотрим, при каких значениях \(n\) эта последовательность будет лежать в пределах \([a; b]\). Для \(n \geq 1\), имеем:
\[
n + 1 \geq 2 \quad \text{и} \quad n + 8 \geq 9.
\]
Следовательно:
\[
\frac{2}{9} \leq \frac{n + 1}{n + 8} < 1.
\]
Это означает, что последовательность принимает значения в пределах от \(\frac{2}{9}\) до 1, не включая 1.

Ответ: Таким образом, последовательность \( c_n \) лежит на отрезке \([ \frac{2}{9}; 1 ]\).
Ответ: \([ \frac{2}{9}; 1 ]\).

в)

Дано:
\( c_n = \left(-\frac{1}{6}\right)^n \).
Шаг 1: Рассмотрим поведение членов последовательности для разных значений \(n\). Мы видим, что при четных значениях \(n\) члены последовательности будут положительными, а при нечетных — отрицательными.
Также для всех значений \(n \geq 1\) можно заметить, что:
\[
-\frac{1}{6} \leq \left(-\frac{1}{6}\right)^n \leq \frac{1}{36}.
\]
Это связано с тем, что каждый член последовательности является степенью числа \(-\frac{1}{6}\), и его абсолютная величина уменьшается с увеличением \(n\).

Шаг 2: Поскольку \( \left(-\frac{1}{6}\right)^n \) принимает значения от \(-\frac{1}{6}\) (при \(n = 1\)) до \(\frac{1}{36}\) (при \(n \to \infty\)), то последовательность \( c_n \) находится в пределах интервала от \(-\frac{1}{6}\) до \(\frac{1}{36}\).

Ответ: Таким образом, последовательность лежит в отрезке \([- \frac{1}{6}; \frac{1}{36}]\).
Ответ: \([- \frac{1}{6}; \frac{1}{36}]\).