ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 682 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли ограниченной последовательность (x_n), если

x_n={(-1/4)^n при нечетном n, (-1/2)^n при четном n}?

Дана последовательность:

\[
x_n =
\begin{cases}
\left(-\frac{1}{4}\right)^n, & \text{при нечётном } n; \\
\left(-\frac{1}{2}\right)^n, & \text{при чётном } n.
\end{cases}
\]

1) Если \( n \) — нечётное число:

\( n \geq 1, -\frac{1}{4} \leq \left(-\frac{1}{4}\right)^n < 0 \);

2) Если \( n \) — чётное число:

\( n \geq 2, 0 < \left(-\frac{1}{2}\right)^n \leq \frac{1}{4} \).

Ответ: ограничена.

Дана последовательность:

\[
x_n =
\begin{cases}
\left(-\frac{1}{4}\right)^n, & \text{при нечётном } n; \\
\left(-\frac{1}{2}\right)^n, & \text{при чётном } n.
\end{cases}
\]

1. Рассмотрим случай, когда n — нечётное число

Если \( n \) нечётное, то:

x_n = \((-1/4)^n\)

При \( n \geq 1 \):

Число \((-1/4)^n\) является отрицательным, так как основание отрицательное, а степень нечётная.

Максимальное значение: \(-1/4\), так как \( n = 1 \).

Минимальное значение: приближается к 0, но остаётся отрицательным при увеличении \( n \).

Следовательно:

-\(1/4 \leq (-1/4)^n < 0\)

2. Рассмотрим случай, когда n — чётное число

Если \( n \) чётное, то:

x_n = \((-1/2)^n\)

При \( n \geq 2 \):

Число \((-1/2)^n\) является положительным, так как основание отрицательное, а степень чётная.

Максимальное значение: \(1/4\), так как \( n = 2 \).

Минимальное значение: приближается к 0, но остаётся положительным при увеличении \( n \).

Следовательно:

\(0 < (-1/2)^n \leq 1/4\)

3. Вывод

Последовательность ограничена, так как:

Для нечётных \( n \): значения лежат в пределах \(-1/4 \leq x_n < 0\).

Для чётных \( n \): значения лежат в пределах \(0 < x_n \leq 1/4\).

Ответ: последовательность ограничена.