ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 681 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Является ли ограниченной последовательность (a_n), если:
а) a_n=-1/3·6^n; в) a_n=n/(4n+1); д) a_n=(-1)^(n+1) n/(n+1);
б) a_n=(-1)^n/(n+5); г) a_n=6·(-1/3)^n; е) a_n=((-1)^n-(-1)^(n+1))/n?
Ограничена ли заданная последовательность \( a_n \):
a) \( a_n = -\frac{1}{3} \cdot 6^n \);
\( n \geq 1 \), \( 6^n \geq 6 \);
\(-\frac{1}{3} \cdot 6^n \leq -2 \);
Ответ: нет.
б) \( a_n = \frac{(-1)^n}{n+5} \);
\( n \geq 1 \), \( n+5 \geq 6 \);
\(-\frac{1}{6} \leq \frac{(-1)^n}{n+5} \leq \frac{1}{7} \);
Ответ: да.
в) \( a_n = \frac{n}{4n+1} \);
\( a_n = \frac{1}{4}(4n+1) — \frac{1}{4} \);
\( a_n = 0,25 — \frac{0,25}{4n+1} \);
\( n \geq 1 \), \( 4n+1 \geq 5 \);
\( 0,2 \leq \frac{n}{4n+1} < 0,25 \);
Ответ: да.
г) \( a_n = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n \);
\( n \geq 1 \), \(-\frac{1}{3} \leq \left(-\frac{1}{3}\right)^n \leq \frac{1}{9} \);
\(-2 \leq 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n \leq \frac{2}{3} \);
Ответ: да.
д) \( a_n = \frac{(-1)^{n+1}n}{n+1} \);
\( n \geq 1 \), \( n+1 \geq 2 \);
\(-1 < \frac{(-1)^{n+1}n}{n+1} < 1 \);
Ответ: да.
е) \( a_n = \frac{(-1)^n — (-1)^{n+1}}{n} \);
\( n \geq 1 \), \( n+1 \geq 2 \);
\(-2 \leq \frac{(-1)^n — (-1)^{n+1}}{n} \leq 1 \);
Ответ: да.
а) Последовательность \( a_n = -\frac{1}{3} \cdot 6^n \)
Для \( n \geq 1 \), \( 6^n \geq 6 \).
Проверим ограниченность снизу:
\( -\frac{1}{3} \cdot 6^n \leq -2 \)
При \( n = 1 \): \( -\frac{1}{3} \cdot 6 = -2 \), следовательно, последовательность не ограничена снизу.
Ответ: нет.
б) Последовательность \( a_n = \frac{(-1)^n}{n+5} \)
Для \( n \geq 1 \), \( n+5 \geq 6 \).
Неравенство:
\( -\frac{1}{6} \leq \frac{(-1)^n}{n+5} \leq \frac{1}{7} \)
Максимальное значение достигается при \( n = 1 \): \( \frac{(-1)^1}{6} = -\frac{1}{6} \).
Минимальное значение достигается при \( n \to \infty \): \( \frac{(-1)^n}{n+5} \to 0 \).
Ответ: да.
в) Последовательность \( a_n = \frac{n}{4n+1} \)
Для \( n \geq 1 \), \( 4n+1 \geq 5 \).
Неравенство:
\( 0,2 \leq \frac{n}{4n+1} < 0,25 \)
Максимальное значение достигается при \( n \to \infty \): \( \frac{n}{4n+1} \to \frac{1}{4} = 0,25 \).
Минимальное значение достигается при \( n = 1 \): \( \frac{1}{5} = 0,2 \).
Ответ: да.
г) Последовательность \( a_n = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n \)
Для \( n \geq 1 \), \(-\frac{1}{3} \leq \left(-\frac{1}{3}\right)^n \leq \frac{1}{9} \).
Неравенство:
\( -2 \leq 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n \leq \frac{2}{3} \)
Последовательность ограничена, так как \( -2 \) и \( \frac{2}{3} \) являются границами.
Ответ: да.
д) Последовательность \( a_n = \frac{(-1)^{n+1}n}{n+1} \)
Для \( n \geq 1 \), \( n+1 \geq 2 \).
Неравенство:
\( -1 < \frac{(-1)^{n+1}n}{n+1} < 1 \)
Последовательность ограничена, так как она колеблется между значениями близкими к -1 и 1.
Ответ: да.
е) Последовательность \( a_n = \frac{(-1)^n — (-1)^{n+1}}{n} \)
Для \( n \geq 1 \), \( n+1 \geq 2 \).
Неравенство:
\( -2 \leq \frac{(-1)^n — (-1)^{n+1}}{n} \leq 1 \)
Последовательность ограничена, так как она колеблется между значениями близкими к -2 и 1.
Ответ: да.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.