ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 680 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что последовательность (c_n), где:

а) c_n=27-2,5n; б) c_n=36n-n^2,

является ограниченной сверху и не ограниченной снизу. Укажите номер, начиная с которого члены последовательности меньше 20; меньше —200.

Дана последовательность:
а) \( c_n = 27 — 2,5n \);

Ограничена сверху:

\( c_{n+1} = 27 — 2,5(n + 1) \);

\( c_{n+1} = 27 — 2,5n — 2,5 \);

\( c_{n+1} = 24,5 — 2,5n \);

\( c_{n+1} — c_n = -2,5 < 0 \);

\( c_n \leq 27 — 2,5 = 24,5 \);

Все члены меньше 20:

\( 27 — 2,5n < 20 \);

\( 2,5n > 7 \);

\( 25n > 70 \);

\( n > 2,8 \);

Все члены меньше -200:

\( 27 — 2,5n < -200 \);

\( 2,5n > 227 \);

\( 25n > 2270 \);

\( n > 90,8 \);

Ответ: 3; 91.

\( c_n = 36n — n^2 \);
Ограничена сверху:

\( c_{n+1} = 36(n + 1) — (n + 1)^2 \);

\( c_{n+1} = 36n + 36 — n^2 — 2n — 1 \);

\( c_{n+1} = 34n + 35 — n^2 \);

\( c_{n+1} — c_n = 35 — 2n < 0 \);

\( 2n > 35, n > 17,5 \);

\( c_n \leq 612 — 289 = 323 \);

\( c_n \leq 648 — 324 = 324 \);

Все члены меньше 20:

\( 36n — n^2 < 20 \);

\( n^2 — 36n + 20 > 0 \);

\( D = 36^2 — 4 \cdot 20 = 1296 — 80 = 1216 \), тогда:

\( n_1 \approx \frac{36 — 35}{2} = 0,5 \),

\( n_2 \approx \frac{36 + 34}{2} = 35 \);

\( (n — 0,5)(n — 35) > 0 \);

\( n < 0,5, n > 35 \);

Все члены меньше -200:

\( 36n — n^2 < -200 \);

\( n^2 — 36n — 200 > 0 \);

\( D = 36^2 + 4 \cdot 200 = 1296 + 800 = 2096 \), тогда:

\( n_1 \approx \frac{36 — 46}{2} = -5 \),

\( n_2 \approx \frac{36 + 45}{2} = 40,5 \);

\( (n + 5)(n — 40,5) > 0 \);

\( n < -5, n > 40,5 \);

Ответ: 36; 41.

а) Последовательность \( c_n = 27 — 2,5n \)