ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 679 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что последовательность (b_n), где:
а) b_n=1,5n-6; б) b_n=n^2-4n,
является ограниченной снизу и не ограниченной сверху. Укажите номер, начиная с которого члены последовательности больше 140; больше 2000.
Дана последовательность:
а) \( b_n = 1,5n — 6 \);
Ограничена снизу:
\( b_{n+1} = 1,5(n + 1) — 6 \);
\( b_{n+1} = 1,5n + 1,5 — 6 \);
\( b_{n+1} = 1,5n — 4,5 \);
\( b_{n+1} — b_n = 1,5 > 0 \);
\( b_n \geq 1,5 — 6 = -4,5 \);
Все члены больше 140:
\( 1,5n — 6 > 140 \);
\( 1,5n > 146 \);
\( 15n > 1460 \);
\( n > \frac{292}{3}, n > 97 \frac{1}{3} \);
Все члены больше 2000:
\( 1,5n — 6 > 2000 \);
\( 1,5n > 2006 \);
\( 15n > 20060 \);
\( n > \frac{4012}{3}, n > 1337 \frac{1}{3} \);
Ответ: 98; 1338.
б) \( b_n = n^2 — 4n \);
Ограничена снизу:
\( b_{n+1} = (n + 1)^2 — 4(n + 1) \);
\( b_{n+1} = n^2 + 2n + 1 — 4n — 4 \);
\( b_{n+1} = n^2 — 2n — 3 \);
\( b_{n+1} — b_n = 2n — 3 > 0 \);
\( 2n > 3, n > 1,5 \);
\( b_n \geq 1 — 4 = -3 \);
\( b_n \geq 4 — 8 = -4 \);
Все члены больше 140:
\( n^2 — 4n > 140 \);
\( n^2 — 4n — 140 > 0 \);
\( D = 4^2 + 4 \cdot 140 = 16 + 560 = 576 \), тогда:
\( n_1 = \frac{-4 — \sqrt{576}}{2} = -10 \) и \( n_2 = \frac{-4 + \sqrt{576}}{2} = 14 \);
\( (n + 10)(n — 14) > 0 \);
\( n < -10, n > 14 \);
Все члены больше 2000:
\( n^2 — 4n > 2000 \);
\( n^2 — 4n — 2000 > 0 \);
\( D = 4^2 + 4 \cdot 2000 = 16 + 8000 = 8016 \), тогда:
\( n_1 = \frac{-4 — \sqrt{8016}}{2} \approx -43 \) и \( n_2 = \frac{-4 + \sqrt{8016}}{2} \approx 46,5 \);
\( (n + 43)(n — 46,5) > 0 \);
\( n < -43, n > 46,5 \);
Ответ: 15; 47.
а) Последовательность \(b_n = 1,5n — 6\)
Запишем выражение для \(b_{n+1}\):
\(b_{n+1} = 1,5(n + 1) — 6 = 1,5n + 1,5 — 6 = 1,5n — 4,5\)
Вычислим разность \(b_{n+1} — b_n\):
\(b_{n+1} — b_n = 1,5 > 0\)
Так как разность положительна, последовательность возрастает.
Найдём нижнюю границу последовательности:
\(b_n \geq 1,5 — 6 = -4,5\)
Последовательность ограничена снизу.
Все члены больше 140:
Решим неравенство:
\(1,5n — 6 > 140\)
\(1,5n > 146\)
\(15n > 1460\)
\(n > \frac{292}{3} \approx 97,33\)
Минимальное значение \(n = 98\).
Все члены больше 2000:
Решим неравенство:
\(1,5n — 6 > 2000\)
\(1,5n > 2006\)
\(15n > 20060\)
\(n > \frac{4012}{3} \approx 1337,33\)
Минимальное значение \(n = 1338\).
Ответ: \(n = 98\); \(n = 1338\).
б) Последовательность \(b_n = n^2 — 4n\)
Запишем выражение для \(b_{n+1}\):
\(b_{n+1} = (n + 1)^2 — 4(n + 1) = n^2 + 2n + 1 — 4n — 4 = n^2 — 2n — 3\)
Вычислим разность \(b_{n+1} — b_n\):
\(b_{n+1} — b_n = 2n — 3 > 0\)
Так как разность положительна при \(n > 1,5\), последовательность возрастает.
Найдём нижнюю границу последовательности:
\(b_n \geq 1 — 4 = -3\)
\(b_n \geq 4 — 8 = -4\)
Последовательность ограничена снизу.
Все члены больше 140:
Решим квадратное неравенство:
\(n^2 — 4n > 140\)
\(n^2 — 4n — 140 > 0\)
Найдём дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 16 + 560 = 576\)
Корни уравнения:
\(n_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{576}}{2} = -10\)
\(n_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{576}}{2} = 14\)
Решение неравенства:
\(n < -10\) или \(n > 14\)
Минимальное значение \(n = 15\).
Все члены больше 2000:
Решим квадратное неравенство:
\(n^2 — 4n > 2000\)
\(n^2 — 4n — 2000 > 0\)
Найдём дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 16 + 8000 = 8016\)
Корни уравнения:
\(n_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{8016}}{2} \approx -43\)
\(n_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{8016}}{2} \approx 46,5\)
Решение неравенства:
\(n < -43\) или \(n > 46,5\)
Минимальное значение \(n = 47\).
Ответ: \(n = 15\); \(n = 47\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.