ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 678 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что последовательность (a_n) является монотонной и ограниченной, если:
а) a_n=(n+3)/(n+6); б) a_n=(2n+2)/(2n+1).
Укажите два каких-либо числа, являющихся соответственно нижней и верхней границей последовательности.
Доказать, что последовательность монотонная и ограниченная, если:
a) \( a_n = \frac{n + 3}{n + 6}; \)
\[ a_n = 1 — \frac{3}{n + 6}, \quad 0 < a_n < 1; \]
\[ a_{n+1} = \frac{(n + 1) + 3}{(n + 1) + 6} = \frac{n + 4}{n + 7}; \]
\[ a_{n+1} — a_n = \frac{(n + 4)(n + 6) — (n + 3)(n + 7)}{(n + 6)(n + 7)}; \]
\[ a_{n+1} — a_n = \frac{n^2 + 6n + 4n + 24 — n^2 — 7n — 3n — 21}{(n + 6)(n + 7)}; \]
\[ a_{n+1} — a_n = \frac{3}{(n + 6)(n + 7)} > 0, \quad a_n \geq \frac{1 + 3}{1 + 6} = \frac{4}{7}; \]
Что и требовалось доказать.
б) \( a_n = \frac{2n + 2}{2n + 1}; \)
\[ a_n = 1 + \frac{1}{2n + 1} > 1; \]
\[ a_{n+1} = \frac{2(n + 1) + 2}{2(n + 1) + 1} = \frac{2n + 4}{2n + 3}; \]
\[ a_{n+1} — a_n = \frac{(2n + 4)(2n + 1) — (2n + 2)(2n + 3)}{(2n + 1)(2n + 3)}; \]
\[ a_{n+1} — a_n = \frac{4n^2 + 2n + 8n + 4 — 4n^2 — 6n — 4n — 6}{(2n + 1)(2n + 3)}; \]
\[ a_{n+1} — a_n = \frac{-2}{(2n + 1)(2n + 3)} < 0, \quad a_n \leq \frac{2 + 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}; \]
Что и требовалось доказать.
а) Последовательность \(a_n = \frac{n + 3}{n + 6}\)
Запишем выражение для \(a_n\):
\(a_n = \frac{n + 3}{n + 6} = 1 — \frac{3}{n + 6}\)
Очевидно, что:
\(0 < a_n < 1\)
Последовательность ограничена сверху и снизу.
Найдём \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = \frac{(n + 1) + 3}{(n + 1) + 6} = \frac{n + 4}{n + 7}\)
Вычислим разность \(a_{n+1} — a_n\):
\(a_{n+1} — a_n = \frac{(n + 4)(n + 6) — (n + 3)(n + 7)}{(n + 6)(n + 7)}\)
Раскроем скобки в числителе:
\(a_{n+1} — a_n = \frac{n^2 + 6n + 4n + 24 — (n^2 + 7n + 3n + 21)}{(n + 6)(n + 7)}\)
Упростим числитель:
\(a_{n+1} — a_n = \frac{3}{(n + 6)(n + 7)} > 0\)
Так как разность положительна, последовательность возрастает.
Найдём нижнюю границу последовательности:
\(a_n = \frac{n + 3}{n + 6} \geq \frac{1 + 3}{1 + 6} = \frac{4}{7}\)
Таким образом, последовательность ограничена и монотонно возрастает.
Ответ: последовательность ограничена и монотонно возрастает.
б) Последовательность \(a_n = \frac{2n + 2}{2n + 1}\)
Запишем выражение для \(a_n\):
\(a_n = \frac{2n + 2}{2n + 1} = 1 + \frac{1}{2n + 1}\)
Очевидно, что:
\(a_n > 1\)
Последовательность ограничена снизу.
Найдём \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = \frac{2(n + 1) + 2}{2(n + 1) + 1} = \frac{2n + 4}{2n + 3}\)
Вычислим разность \(a_{n+1} — a_n\):
\(a_{n+1} — a_n = \frac{(2n + 4)(2n + 1) — (2n + 2)(2n + 3)}{(2n + 1)(2n + 3)}\)
Раскроем скобки в числителе:
\(a_{n+1} — a_n = \frac{4n^2 + 2n + 8n + 4 — (4n^2 + 6n + 4n + 6)}{(2n + 1)(2n + 3)}\)
Упростим числитель:
\(a_{n+1} — a_n = \frac{-2}{(2n + 1)(2n + 3)} < 0\)
Так как разность отрицательна, последовательность убывает.
Найдём верхнюю границу последовательности:
\(a_n = \frac{2n + 2}{2n + 1} \leq \frac{2 + 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}\)
Таким образом, последовательность ограничена и монотонно убывает.
Ответ: последовательность ограничена и монотонно убывает.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.