ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 672 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
При каких значениях параметра а последовательность (u_n) является возрастающей и при каких — убывающей, если:
а) u_n=(n^2-4an)/n^2; б) u_n=(5n-a)/(n+2)?
Исследовать на монотонность:
a)
\[
u_n = \frac{n^2 — 4an}{n^2};
\]
\[
u_n = \frac{n(n — 4a)}{n^2} = \frac{n — 4a}{n}, \quad u_{n+1} = \frac{n + 1 — 4a}{n + 1};
\]
\[
u_{n+1} — u_n = \frac{(n + 1 — 4a)n — (n — 4a)(n + 1)}{n(n + 1)} > 0;
\]
\[
n^2 + n — 4an — n^2 — n + 4an + 4a > 0;
\]
\[
4a > 0, \quad a > 0;
\]
Ответ: возрастает при \( a > 0 \);
убывает при \( a < 0 \).
б)
\[
u_n = \frac{5n — a}{n + 2};
\]
\[
u_{n+1} = \frac{5(n + 1) — a}{(n + 1) + 2} = \frac{5n + 5 — a}{n + 3};
\]
\[
u_{n+1} — u_n = \frac{(5n + 5 — a)(n + 2) — (5n — a)(n + 3)}{(n + 2)(n + 3)} > 0;
\]
\[
5n^2 + 10n + 5n + 10 — an — 2a — 5n^2 — 15n + an + 3a > 0;
\]
\[
a + 10 > 0, \quad a > -10;
\]
Ответ: возрастает при \( a > -10 \);
убывает при \( a < -10 \).
а) \( u_n = \frac{n^2 — 4an}{n^2} \)
Преобразуем выражение для \( u_n \):
\( u_n = \frac{n(n — 4a)}{n^2} = \frac{n — 4a}{n} \)
Теперь найдём \( u_{n+1} \):
\( u_{n+1} = \frac{n + 1 — 4a}{n + 1} \)
Вычислим разность \( u_{n+1} — u_n \):
\( u_{n+1} — u_n = \frac{(n + 1 — 4a)n — (n — 4a)(n + 1)}{n(n + 1)} \)
Раскроем скобки в числителе:
\( (n + 1 — 4a)n — (n — 4a)(n + 1) = n^2 + n — 4an — n^2 — n + 4an + 4a = 4a \)
Таким образом, разность:
\( u_{n+1} — u_n = \frac{4a}{n(n + 1)} \)
Для возрастания последовательности \( u_{n+1} — u_n > 0 \), значит:
\( 4a > 0 \quad \Rightarrow \quad a > 0 \)
Ответ: возрастает при \( a > 0 \); убывает при \( a < 0 \).
б) \( u_n = \frac{5n — a}{n + 2} \)
Найдём \( u_{n+1} \):
\( u_{n+1} = \frac{5(n + 1) — a}{(n + 1) + 2} = \frac{5n + 5 — a}{n + 3} \)
Вычислим разность \( u_{n+1} — u_n \):
\( u_{n+1} — u_n = \frac{(5n + 5 — a)(n + 2) — (5n — a)(n + 3)}{(n + 2)(n + 3)} \)
Раскроем скобки в числителе:
\( (5n + 5 — a)(n + 2) — (5n — a)(n + 3) = 5n^2 + 10n + 5n +\)
\(10 — an — 2a — 5n^2 — 15n + an + 3a \)
Упростим выражение:
\( 5n^2 + 10n + 5n + 10 — an — 2a — 5n^2 — 15n + an + 3a =\)
\(10 — 2a + 3a = a + 10 \)
Таким образом, разность:
\( u_{n+1} — u_n = \frac{a + 10}{(n + 2)(n + 3)} \)
Для возрастания последовательности \( u_{n+1} — u_n > 0 \), значит:
\( a + 10 > 0 \quad \Rightarrow \quad a > -10 \)
Ответ: возрастает при \( a > -10 \); убывает при \( a < -10 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.