ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 671 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а является возрастающей последовательность (b_n), заданная формулой:

а) b_n=(5n+a)/n; б) b_n=n^2-a; в) b_n=(2n-a)^2?

При каких значениях параметра последовательность возрастает:

a)

\[
b_n = \frac{5n + a}{n};
\]

\[
b_{n+1} = \frac{5(n+1) + a}{n+1} = \frac{5n + 5 + a}{n+1};
\]

\[
b_{n+1} — b_n = \frac{(5n + 5 + a)n — (5n + a)(n+1)}{n(n+1)} > 0;
\]

\[
5n^2 + 5n + an — 5n^2 — 5n — an — a > 0;
\]

\[
-a > 0, \quad a < 0;
\]

Ответ: \((-∞; 0)\).

б)
\[
b_n = n^2 — a;
\]

\[
b_{n+1} = (n+1)^2 — a;
\]

\[
b_{n+1} = n^2 + 2n + 1 — a;
\]

\[
b_{n+1} — b_n = 2n + 1 > 0;
\]

\[
3 > 0, \quad a \in \mathbb{R};
\]

Ответ: \((-∞; +∞)\).

в)
\[
b_n = (2n — a)^2;
\]

\[
b_{n+1} = (2(n+1) — a)^2;
\]

\[
b_{n+1} = (2n + 2 — a)^2;
\]

\[
b_{n+1} — b_n = 2 \cdot (4n + 2 — 2a) > 0;
\]

\[
4n + 2 — 2a > 0, \quad 2a < 4n + 2;
\]

\[
a < 2n + 1, \quad a \leq 3;
\]

Ответ: \((-∞; 3)\).

а) \( b_n = \frac{5n + a}{n} \)

Найдём \( b_{n+1} \):

\( b_{n+1} = \frac{5(n+1) + a}{n+1} = \frac{5n + 5 + a}{n+1} \)

Найдём разность \( b_{n+1} — b_n \):

\( b_{n+1} — b_n = \frac{(5n + 5 + a)n — (5n + a)(n+1)}{n(n+1)} \)

Упростим числитель:

\( (5n + 5 + a)n — (5n + a)(n+1) = 5n^2 + 5n + an — 5n^2 — 5n — an — a = -a \)

Следовательно, разность:

\( b_{n+1} — b_n = \frac{-a}{n(n+1)} \)

Для возрастания последовательности \( b_{n+1} — b_n > 0 \), значит:

\( -a > 0 \quad \Rightarrow \quad a < 0 \)

Ответ: \( (-\infty; 0) \)

б) \( b_n = n^2 — a \)

Найдём \( b_{n+1} \):

\( b_{n+1} = (n+1)^2 — a = n^2 + 2n + 1 — a \)

Найдём разность \( b_{n+1} — b_n \):

\( b_{n+1} — b_n = (n^2 + 2n + 1 — a) — (n^2 — a) = 2n + 1 \)

Так как \( 2n + 1 > 0 \) для любого \( n \), последовательность всегда возрастает.

Ответ: \( (-\infty; +\infty) \)

в) \( b_n = (2n — a)^2 \)

Найдём \( b_{n+1} \):

\( b_{n+1} = (2(n+1) — a)^2 = (2n + 2 — a)^2 \)

Найдём разность \( b_{n+1} — b_n \):

\( b_{n+1} — b_n = (2n + 2 — a)^2 — (2n — a)^2 \)

Раскроем скобки:

\( b_{n+1} — b_n = [(2n + 2)^2 — 2(2n + 2)a + a^2] — [(2n)^2 — 2(2n)a + a^2] \)

Упростим:

\( b_{n+1} — b_n = 4n + 4 — 4a \)

Для возрастания последовательности \( b_{n+1} — b_n > 0 \), значит:

\( 4n + 4 — 4a > 0 \quad \Rightarrow \quad 4a < 4n + 4 \quad \Rightarrow \quad a < n + 1 \)

Учитывая ограничение \( a \leq 3 \), получаем:

Ответ: \( (-\infty; 3) \)