ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 670 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Определите, возрастающей или убывающей является последовательность, если:
а) a_n=vn-5; в) a_n=v(n+1)-vn;
б) a_n=3/vn; г) a_n=(vn-1)/(vn+2).
1. Задача а):
\[
a_n = \sqrt{n} — 5; \quad a_{n+1} = \sqrt{n+1} — 5; \quad a_{n+1} — a_n = \sqrt{n+1} — \sqrt{n};
\]
\[
d = a_{n+1} — a_n < 0;
\]
Ответ: возрастает.
2. Задача б):
\[
a_n = \frac{3}{\sqrt{n}}; \quad a_{n+1} = \frac{3}{\sqrt{n+1}};
\]
\[
a_{n+1} — a_n = \frac{3\sqrt{n} — 3\sqrt{n+1}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}};
\]
\[
a_{n+1} — a_n = \frac{3(\sqrt{n} — \sqrt{n+1})}{n^2 + n} < 0;
\]
Ответ: убывает.
3. Задача в):
\[
a_n = \sqrt{n+1} — \sqrt{n}; \quad a_{n+1} = \sqrt{n+2} — \sqrt{n+1};
\]
\[
a_{n+1} — a_n = \sqrt{n+2} — 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n};
\]
Решим неравенство:
\[
\sqrt{n+2} — 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n} < 0;
\]
\[
\sqrt{n+2} + \sqrt{n} < 2\sqrt{n+1};
\]
\[
n + 2 + 2\sqrt{n^2 + 2n + n} < 4n + 4;
\]
\[
2\sqrt{n^2 + 2n} < 2n + 2;
\]
\[
\sqrt{n^2 + 2n} < n + 1;
\]
\[
n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1;
\]
\[
0n < 1, \quad n \in \mathbb{R};
\]
Ответ: убывает.
4. Задача г):
\[
a_n = \frac{\sqrt{n} — 1}{\sqrt{n} + 2}; \quad a_{n+1} = \frac{\sqrt{n+1} — 1}{\sqrt{n+1} + 2};
\]
\[
d = a_{n+1} — a_n = \frac{(\sqrt{n+1} — 1)(\sqrt{n} + 2) — (\sqrt{n} — 1)(\sqrt{n+1} + 2)}{(\sqrt{n} + 2)(\sqrt{n+1} + 2)};
\]
\[
d = \frac{n^2 + n + 2\sqrt{n} + 1 — \sqrt{n} — 2 — n^2 + n — 2\sqrt{n} + \sqrt{n} + 1 + 2}{(\sqrt{n} + 2)(\sqrt{n+1} + 2)};
\]
\[
a_{n+1} — a_n = \frac{3\sqrt{n+1} — 3\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+2)(\sqrt{n+1}+2)} > 0;
\]
Ответ: возрастает.
а) \( a_n = \sqrt{n} — 5 \)
Найдём разность \( a_{n+1} — a_n \):
\( a_{n+1} = \sqrt{n+1} — 5 \)
\( a_{n+1} — a_n = (\sqrt{n+1} — 5) — (\sqrt{n} — 5) = \sqrt{n+1} — \sqrt{n} \)
Так как \( \sqrt{n+1} > \sqrt{n} \), то разность \( a_{n+1} — a_n > 0 \).
Ответ: последовательность возрастает.
б) \( a_n = \frac{3}{\sqrt{n}} \)
Найдём разность \( a_{n+1} — a_n \):
\( a_{n+1} = \frac{3}{\sqrt{n+1}} \)
\( a_{n+1} — a_n = \frac{3}{\sqrt{n+1}} — \frac{3}{\sqrt{n}} = \frac{3\sqrt{n} — 3\sqrt{n+1}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}} \)
Так как \( \sqrt{n+1} > \sqrt{n} \), то числитель \( 3\sqrt{n} — 3\sqrt{n+1} < 0 \), а знаменатель положителен.
Следовательно, \( a_{n+1} — a_n < 0 \).
Ответ: последовательность убывает.
в) \( a_n = \sqrt{n+1} — \sqrt{n} \)
Найдём разность \( a_{n+1} — a_n \):
\( a_{n+1} = \sqrt{n+2} — \sqrt{n+1} \)
\( a_{n+1} — a_n = (\sqrt{n+2} — \sqrt{n+1}) — (\sqrt{n+1} — \sqrt{n}) = \sqrt{n+2} — 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \)
Рассмотрим неравенство:
\( \sqrt{n+2} — 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n} < 0 \)
Приведём его к виду:
\( \sqrt{n+2} + \sqrt{n} < 2\sqrt{n+1} \)
Возведём обе части в квадрат:
\( n+2 + 2\sqrt{n^2 + 2n} + n < 4n + 4 \)
Упростим:
\( 2\sqrt{n^2 + 2n} < 2n + 2 \)
\( \sqrt{n^2 + 2n} < n + 1 \)
Возведём в квадрат ещё раз:
\( n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1 \)
Это верно для всех \( n \).
Ответ: последовательность убывает.
г) \( a_n = \frac{\sqrt{n} — 1}{\sqrt{n} + 2} \)
Найдём разность \( a_{n+1} — a_n \):
\( a_{n+1} = \frac{\sqrt{n+1} — 1}{\sqrt{n+1} + 2} \)
\( a_{n+1} — a_n = \frac{(\sqrt{n+1} — 1)(\sqrt{n} + 2) — (\sqrt{n} — 1)(\sqrt{n+1} + 2)}{(\sqrt{n} + 2)(\sqrt{n+1} + 2)} \)
Упростим числитель:
\( (\sqrt{n+1} — 1)(\sqrt{n} + 2) — (\sqrt{n} — 1)(\sqrt{n+1} + 2) = 3\sqrt{n+1} — 3\sqrt{n} \)
Так как \( \sqrt{n+1} > \sqrt{n} \), то числитель положителен, а знаменатель всегда положителен.
Следовательно, \( a_{n+1} — a_n > 0 \).
Ответ: последовательность возрастает.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.