ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 668 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Исследуйте на монотонность последовательность (a_n), заданную формулой:

а) a_n=-7^n; г) a_n=(-1)^n 15/n; ж) a_n=n^2-36n;

б) a_n=(5n+2)/(n+4); д) a_n=0,4n^2+1,2; з) a_n=(n+2)/(n^2+4).

в) a_n=(3n-1)/(3n-7,5); е) a_n=(n^2+2n+1)/(n+2);

Исследовать на монотонность:

a) \( a_n = -7^n; \)

\[ a_{n+1} = -7^{n+1} = -7^n \cdot 7; \]

\[ a_{n+1} — a_n = -7^n \cdot 6 < 0; \]

Ответ убывает.

б) \( a_n = \frac{5n + 2}{n + 4}; \)

\[ a_{n+1} = \frac{5(n + 1) + 2}{(n + 1) + 4} = \frac{5n + 5 + 2}{n + 5} = \frac{5n + 7}{n + 5}; \]

\[ d = a_{n+1} — a_n = \frac{(5n + 7)(n + 4) — (5n + 2)(n + 5)}{(n + 4)(n + 5)}; \]

\[ d = \frac{5n^2 + 20n + 7n + 28 — 5n^2 — 25n — 2n — 10}{(n + 4)(n + 5)}; \]

\[ a_{n+1} — a_n = \frac{18}{(n + 4)(n + 5)} > 0; \]

Ответ: возрастает.

в) \( a_n = \frac{3n — 1}{3n — 7,5}; \)

\[ a_{n+1} = \frac{3(n + 1) — 1}{3(n + 1) — 7,5} = \frac{3n + 2}{3n — 4,5}; \]

\[ d = a_{n+1} — a_n = \frac{(3n + 2)(3n — 7,5) — (3n — 1)(3n — 4,5)}{(3n — 7,5)(3n — 4,5)}; \]

\[ d = \frac{19,5}{(3n — 7,5)(3n — 4,5)}; \]

Ответ: не монотонная.

г) \( a_n = \frac{(-1)^n \cdot 15}{n}; \)

\[ a_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 15}{n + 1}; \]

\[ a_{n+1} — a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 15n — (-1)^n \cdot 15(n + 1)}{n(n + 1)}; \]

\[ a_{n+1} — a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot (30n + 15)}{n(n + 1)}; \]

Ответ: не монотонная.

д) \( a_n = 0,4n^2 + 1,2; \)

\[ a_{n+1} = 0,4(n + 1)^2 + 1,2; \]

\[ a_{n+1} = 0,4n^2 + 0,8n + 0,4 + 1,2; \]

\[ a_{n+1} — a_n = 0,8n + 0,4 > 0; \]

Ответ: возрастает.

е) \( a_n = \frac{n^2 + 2n + 1}{n + 2}; \)

\[ a_{n+1} = \frac{(n + 1)^2 + 2(n + 1) + 1}{(n + 1) + 2}; \]

\[ a_{n+1} = \frac{n^2 + 2n + 1 + 2n + 2 + 1}{n + 3} = \frac{n^2 + 4n + 4}{n + 3}; \]

\[ d = a_{n+1} — a_n = \frac{(n^2 + 4n + 4)(n + 2) — (n^2 + 2n + 1)(n + 3)}{(n + 2)(n + 3)}; \]

\[ d = \frac{n^3 + 4n^2 + 4n + 2n^2 + 8n + 8 — n^3 — 2n^2 — n — 3n^2 — 6n — 3}{(n + 2)(n + 3)}; \]

\[ a_{n+1} — a_n = \frac{n^2 + 5n + 5}{(n + 2)(n + 3)} > 0; \]

Ответ: возрастает.

ж) \( a_n = n^2 — 36n; \)

\[ a_{n+1} = (n + 1)^2 — 36(n + 1); \]

\[ a_{n+1} = n^2 + 2n + 1 — 36n — 36; \]

\[ a_{n+1} = n^2 — 34n — 35; \]

\[ a_{n+1} — a_n = 2n — 35; \]

Ответ: не монотонная.

3) \( a_n = \frac{n + 2}{n^2 + 4}; \)

\[ a_{n+1} = \frac{(n + 1) + 2}{(n + 1)^2 + 4} = \frac{n + 3}{n^2 + 2n + 5}; \]

\[ d = a_{n+1} — a_n = \frac{(n + 3)(n^2 + 4) — (n + 2)(n^2 + 2n + 5)}{(n^2 + 4)(n^2 + 2n + 5)}; \]

\[ d = \frac{-n^2 — 5n + 2}{(n^2 + 4)(n^2 + 2n + 5)} < 0; \]

Ответ: убывает.

а) $a_n = -7^n$

$$a_{n+1} = -7^{n+1} = -7^n \cdot 7$$

Разность:

$$a_{n+1} — a_n = -7^n \cdot 7 — (-7^n) = -7^n (7 — 1) = -7^n \cdot 6$$

Поскольку $7^n > 0$, то:

$$a_{n+1} — a_n < 0$$

Следовательно, последовательность убывает.

б) $a_n = \frac{5n + 2}{n + 4}$

Найдём следующий член:

$$a_{n+1} = \frac{5(n+1) + 2}{(n+1) + 4} = \frac{5n + 7}{n + 5}$$

Разность:

$$a_{n+1} — a_n = \frac{5n + 7}{n + 5} — \frac{5n + 2}{n + 4} = \frac{(5n + 7)(n + 4) — (5n + 2)(n + 5)}{(n + 4)(n + 5)}$$

Раскроем скобки:

$$(5n + 7)(n + 4) = 5n^2 + 20n + 7n + 28 = 5n^2 + 27n + 28$$ $$(5n + 2)(n + 5) = 5n^2 + 25n + 2n + 10 = 5n^2 + 27n + 10$$

Вычитаем числитель:

$$5n^2 + 27n + 28 — (5n^2 + 27n + 10) = 18$$

Итог:

$$a_{n+1} — a_n = \frac{18}{(n + 4)(n + 5)} > 0$$

Последовательность возрастает.

в) $a_n = \frac{3n — 1}{3n — 7.5}$

Следующий член:

$$a_{n+1} = \frac{3n + 2}{3n — 4.5}$$

Разность:

$$a_{n+1} — a_n = \frac{(3n + 2)(3n — 7.5) — (3n — 1)(3n — 4.5)}{(3n — 7.5)(3n — 4.5)}$$

Раскроем:

$$(3n + 2)(3n — 7.5) = 9n^2 — 22.5n + 6n — 15 = 9n^2 — 16.5n — 15$$ $$(3n — 1)(3n — 4.5) = 9n^2 — 13.5n — 3n + 4.5 = 9n^2 — 16.5n + 4.5$$

Вычитаем числитель:

$$(9n^2 — 16.5n — 15) — (9n^2 — 16.5n + 4.5) = -15 — 4.5 = -19.5$$

Итог:

$$a_{n+1} — a_n = \frac{-19.5}{(3n — 7.5)(3n — 4.5)}$$

Знак меняется с $n$, последовательность не монотонна.

г) $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 15}{n}$

Следующий член:

$$a_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 15}{n + 1}$$

Разность:

$$a_{n+1} — a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 15}{n + 1} — \frac{(-1)^n \cdot 15}{n} = \frac{15((-1)^{n+1} n — (-1)^n (n+1))}{n(n+1)}$$

Так как $(-1)^n = -(-1)^{n+1}$, получаем:

$$a_{n+1} — a_n = \frac{15 (-1)^{n+1} (2n + 1)}{n(n+1)}$$

Поскольку знак меняется от $(-1)^{n+1}$, последовательность не монотонна.

д) $a_n = 0.4 n^2 + 1.2$

Следующий член:

$$a_{n+1} = 0.4 (n+1)^2 + 1.2 = 0.4 n^2 + 0.8 n + 0.4 + 1.2 = 0.4 n^2 + 0.8 n + 1.6$$

Разность:

$$a_{n+1} — a_n = (0.4 n^2 + 0.8 n + 1.6) — (0.4 n^2 + 1.2) = 0.8 n + 0.4$$

Для $n \geq 1$, $0.8 n + 0.4 > 0$ — значит, последовательность возрастает.

е) $a_n = \frac{n^2 + 2n + 1}{n + 2}$

Следующий член:

$$a_{n+1} = \frac{(n+1)^2 + 2(n+1) + 1}{n+3} = \frac{n^2 + 2n + 1 + 2n + 2 + 1}{n+3} = \frac{n^2 + 4n + 4}{n+3}$$

Разность:

$$a_{n+1} — a_n = \frac{(n^2 + 4n + 4)(n+2) — (n^2 + 2n + 1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}$$

Раскроем числитель:

$$(n^2 + 4n + 4)(n+2) = n^3 + 2 n^2 + 4 n^2 + 8 n + 4 n + 8 = n^3 + 6 n^2 + 12 n + 8$$ $$(n^2 + 2n + 1)(n+3) = n^3 + 3 n^2 + 2 n^2 + 6 n + n + 3 = n^3 + 5 n^2 + 7 n + 3$$

Вычитая, получаем:

$$n^3 + 6 n^2 + 12 n + 8 — (n^3 + 5 n^2 + 7 n + 3) = n^2 + 5 n + 5$$

Итог:

$$a_{n+1} — a_n = \frac{n^2 + 5 n + 5}{(n + 2)(n + 3)} > 0$$

Последовательность возрастает.

ж) $a_n = n^2 — 36 n$

Следующий член:

$$a_{n+1} = (n+1)^2 — 36 (n+1) = n^2 + 2n + 1 — 36 n — 36 = n^2 — 34 n — 35$$

Разность:

$$a_{n+1} — a_n = (n^2 — 34 n — 35) — (n^2 — 36 n) = 2 n — 35$$

Знак меняется при $n = 17.5$, значит последовательность сначала убывает, потом возрастает — не монотонна.

з) $a_n = \frac{n + 2}{n^2 + 4}$

Следующий член:

$$a_{n+1} = \frac{n + 3}{(n + 1)^2 + 4} = \frac{n + 3}{n^2 + 2 n + 5}$$

Разность:

$$a_{n+1} — a_n = \frac{(n + 3)(n^2 + 4) — (n + 2)(n^2 + 2 n + 5)}{(n^2 + 4)(n^2 + 2 n + 5)}$$

Раскроем числитель:

$$(n + 3)(n^2 + 4) = n^3 + 3 n^2 + 4 n + 12$$ $$(n + 2)(n^2 + 2 n + 5) = n^3 + 2 n^2 + 2 n^2 + 4 n + 5 n + 10 = n^3 + 4 n^2 + 9 n + 10$$

Вычитаем:

$$n^3 + 3 n^2 + 4 n + 12 — (n^3 + 4 n^2 + 9 n + 10) = -n^2 — 5 n + 2$$

При больших $n$ выражение отрицательно, значит:

$$a_{n+1} — a_n < 0$$

Последовательность убывает.