ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 667 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что последовательность (c_n) не является монотонной, если:

а) c_n=n^2-9n-22; в) c_n=0,1n^2-n;

б) c_n=(3n-1)/(3n-5); г) c_n=(-1)^n n/(n+4).

Заданная последовательность не является монотонной, если:

a) \( c_n = n^2 — 9n — 22; \)

\[ c_{n+1} = (n + 1)^2 — 9(n + 1) — 22; \]

\[ c_{n+1} = n^2 + 2n + 1 — 9n — 9 — 22; \]

\[ c_{n+1} = n^2 — 7n — 22; \]

\[ c_{n+1} — c_n = 2n — 8; \]

Что и требовалось доказать.

б) \( c_n = \frac{3n — 1}{3n — 5}; \)

\[ c_{n+1} = \frac{3(n + 1) — 1}{3(n + 1) — 5} = \frac{3n + 3 — 1}{3n + 3 — 5} = \frac{3n + 2}{3n — 2}; \]

\[ c_{n+1} — c_n = \frac{(3n + 2)(3n — 5) — (3n — 1)(3n — 2)}{(3n — 2)(3n — 5)}; \]

\[ c_{n+1} — c_n = \frac{9n^2 — 15n + 6n — 10 — 9n^2 + 6n + 3n — 2}{(3n — 2)(3n — 5)}; \]

\[ c_{n+1} — c_n = \frac{12}{(3n — 2)(3n — 5)}; \]

Что и требовалось доказать.

в) \( c_n = 0,1n^2 — n; \)

\[ c_{n+1} = 0,1(n + 1)^2 — (n + 1); \]

\[ c_{n+1} = 0,1n^2 + 0,2n + 0,1 — n — 1; \]

\[ c_{n+1} = 0,1n^2 — 0,8n — 0,9; \]

\[ c_{n+1} — c_n = 0,2n — 0,9; \]

Что и требовалось доказать.

г) \( c_n = \frac{(-1)^n n}{n + 4}; \)

\[ c_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1} \cdot (n + 1)}{n + 5}; \]

\[ c_{n+1} — c_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot (n + 1)(n + 4) — (-1)^n \cdot n(n + 5)}{(n + 4)(n + 5)}; \]

\[ c_{n+1} — c_n = \frac{(-1)^{n+1}(n^2 + 4n + n + 4) + (-1)^n(n^2 + 5n)}{(n + 4)(n + 5)}; \]

\[ c_{n+1} — c_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot (2n^2 + 10n + 4)}{(n + 4)(n + 5)}; \]

Что и требовалось доказать.

а) \( c_n = n^2 — 9n — 22 \)

Найдём следующий член:

\[
c_{n+1} = (n + 1)^2 — 9(n + 1) — 22
\]

Раскроем скобки:

\[
c_{n+1} = n^2 + 2n + 1 — 9n — 9 — 22 = n^2 — 7n — 30
\]

Вычислим разность:

\[
c_{n+1} — c_n = (n^2 — 7n — 30) — (n^2 — 9n — 22)
\]

Раскроем скобки:

\[
c_{n+1} — c_n = n^2 — 7n — 30 — n^2 + 9n + 22
\]

Приведём подобные:

\[
c_{n+1} — c_n = 2n — 8
\]

Знак разности зависит от \( n \), то есть:

\[
c_{n+1} — c_n > 0 \text{ при } n > 4,\quad c_{n+1} — c_n < 0 \text{ при } n < 4
\]

б) \( c_n = \frac{3n — 1}{3n — 5} \)

Найдём следующий член:

\[
c_{n+1} = \frac{3(n + 1) — 1}{3(n + 1) — 5} = \frac{3n + 2}{3n — 2}
\]

Вычислим разность:

\[
c_{n+1} — c_n = \frac{3n + 2}{3n — 2} — \frac{3n — 1}{3n — 5}
\]

Приведём к общему знаменателю:

\[
c_{n+1} — c_n = \frac{(3n + 2)(3n — 5) — (3n — 1)(3n — 2)}{(3n — 2)(3n — 5)}
\]

Раскроем числитель:

\[
(3n + 2)(3n — 5) = 9n^2 — 15n + 6n — 10 = 9n^2 — 9n — 10
\]

\[
(3n — 1)(3n — 2) = 9n^2 — 6n — 3n + 2 = 9n^2 — 9n + 2
\]

Вычтем:

\[
c_{n+1} — c_n = \frac{(9n^2 — 9n — 10) — (9n^2 — 9n + 2)}{(3n — 2)(3n — 5)} = \frac{-12}{(3n — 2)(3n — 5)}
\]

\[
c_{n+1} — c_n = \frac{12}{(3n — 2)(3n — 5)}
\]

Поскольку знаменатель положительный при \( n > \frac{5}{3} \), разность положительна, а значит:

\[
\text{последовательность возрастает при допустимых } n \geq 2
\]

в) \( c_n = 0{,}1n^2 — n \)

Найдём следующий член:

\[
c_{n+1} = 0{,}1(n + 1)^2 — (n + 1)
\]

Распишем:

\[
c_{n+1} = 0{,}1(n^2 + 2n + 1) — n — 1 = 0{,}1n^2 + 0{,}2n + 0{,}1 — n — 1
\]

\[
c_{n+1} = 0{,}1n^2 — 0{,}8n — 0{,}9
\]

Найдём разность:

\[
c_{n+1} — c_n = (0{,}1n^2 — 0{,}8n — 0{,}9) — (0{,}1n^2 — n) = 0{,}2n — 0{,}9
\]

Знак разности зависит от \( n \):

\[
c_{n+1} — c_n > 0 \iff 0{,}2n — 0{,}9 > 0 \iff n > 4{,}5
\]

\[
\text{При } n < 5 \text{ — убывает, при } n \geq 5 \text{ — возрастает}
\]

г) \( c_n = \frac{(-1)^n \cdot n}{n + 4} \)

Найдём следующий член:

\[
c_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1} \cdot (n + 1)}{n + 5}
\]

Найдём разность:

\[
c_{n+1} — c_n = \frac{(-1)^{n+1}(n + 1)}{n + 5} — \frac{(-1)^n \cdot n}{n + 4}
\]

Приведём к общему знаменателю:

\[
c_{n+1} — c_n = \frac{(-1)^{n+1}(n + 1)(n + 4) — (-1)^n \cdot n(n + 5)}{(n + 4)(n + 5)}
\]

В числителе:

\[
(-1)^{n+1}(n^2 + 5n + 4) + (-1)^{n+1 + 1}n(n + 5)
\]

Заметим:

\[
(-1)^n = -(-1)^{n+1} \Rightarrow \text{выносим } (-1)^{n+1}
\]

\[
c_{n+1} — c_n = \frac{(-1)^{n+1}\left[(n + 1)(n + 4) + n(n + 5)\right]}{(n + 4)(n + 5)}
\]

Посчитаем числитель:

\[
(n + 1)(n + 4) = n^2 + 5n + 4,\quad n(n + 5) = n^2 + 5n
\]

Сложим:

\[
n^2 + 5n + 4 + n^2 + 5n = 2n^2 + 10n + 4
\]

Получаем:

\[
c_{n+1} — c_n = \frac{(-1)^{n+1}(2n^2 + 10n + 4)}{(n + 4)(n + 5)}
\]

Так как знак зависит от \( (-1)^{n+1} \), то:

\[
\text{при чётном } n: c_{n+1} — c_n < 0,\quad \text{при нечётном } n: c_{n+1} — c_n > 0
\]

Следовательно, последовательность чередуется по знаку — не является монотонной