ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 666 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что последовательность (b_n), где b_n=(n+8)/(2n+1), является убывающей. Изобразите на координатной плоскости первые четыре члена этой последовательности.

Дана последовательность:

\[ b_n = \frac{n + 8}{2n + 1} = \frac{0,5(2n + 1) + 7,5}{2n + 1}; \]

\[ b_n = \frac{1}{2} + \frac{7,5}{2n + 1}, \; b_{n+1} = \frac{1}{2} + \frac{7,5}{2n + 3}; \]

1) Последовательность убывает:

\[ b_{n+1} — b_n = \frac{1}{2} + \frac{7,5}{2n + 3} — \frac{1}{2} — \frac{7,5}{2n + 1}; \]

\[ b_{n+1} — b_n = \frac{7,5(2n + 1) — 7,5(2n + 3)}{(2n + 1)(2n + 3)}; \]

\[ b_{n+1} — b_n = \frac{-15}{(2n + 1)(2n + 3)} < 0; \]

2) Первые четыре члена:

\[ b_1 = \frac{1}{2} + \frac{7,5}{3} = 0,5 + 2,5 = 3; \]

\[ b_2 = \frac{1}{2} + \frac{7,5}{5} = 0,5 + 1,5 = 2; \]

\[ b_3 = \frac{1}{2} + \frac{7,5}{7} = \frac{7}{14} + \frac{15}{14} = \frac{22}{14} = 1 \frac{4}{7}; \]

\[ b_4 = \frac{1}{2} + \frac{7,5}{9} = \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = 1 \frac{1}{3}; \]

3) На координатной плоскости:

Дана последовательность:

\[
b_n = \frac{n + 8}{2n + 1}
\]

Преобразуем дробь:

\[
b_n = \frac{0{,}5(2n + 1) + 7{,}5}{2n + 1} = \frac{1}{2} + \frac{7{,}5}{2n + 1}
\]

Найдём следующий член:

\[
b_{n+1} = \frac{1}{2} + \frac{7{,}5}{2n + 3}
\]

1) Докажем, что последовательность убывает:

\[
b_{n+1} — b_n = \left( \frac{1}{2} + \frac{7{,}5}{2n + 3} \right) — \left( \frac{1}{2} + \frac{7{,}5}{2n + 1} \right)
\]

Сократим одинаковые слагаемые:

\[
b_{n+1} — b_n = \frac{7{,}5}{2n + 3} — \frac{7{,}5}{2n + 1}
\]

Вынесем общий множитель:

\[
b_{n+1} — b_n = 7{,}5 \left( \frac{1}{2n + 3} — \frac{1}{2n + 1} \right)
\]

Приведём к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{2n + 3} — \frac{1}{2n + 1} = \frac{(2n + 1) — (2n + 3)}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{-2}{(2n + 1)(2n + 3)}
\]

Подставим:

\[
b_{n+1} — b_n = 7{,}5 \cdot \left( \frac{-2}{(2n + 1)(2n + 3)} \right) = \frac{-15}{(2n + 1)(2n + 3)}
\]

Так как числитель отрицателен, а знаменатель всегда положителен при \( n \geq 1 \), то:

\[
b_{n+1} — b_n < 0 \Rightarrow b_{n+1} < b_n
\]

Следовательно, последовательность убывает.

\[\space{0.5cm}\]

2) Найдём первые четыре члена последовательности:

\[
b_1 = \frac{1 + 8}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{9}{3} = 3
\]

Или через преобразованную форму:

\[
b_1 = \frac{1}{2} + \frac{7{,}5}{3} = 0{,}5 + 2{,}5 = 3
\]

\[
b_2 = \frac{1}{2} + \frac{7{,}5}{5} = 0{,}5 + 1{,}5 = 2
\]

\[
b_3 = \frac{1}{2} + \frac{7{,}5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{15}{14} = \frac{7}{14} + \frac{15}{14} = \frac{22}{14} = \frac{11}{7} = 1 \frac{4}{7}
\]

\[
b_4 = \frac{1}{2} + \frac{7{,}5}{9} = \frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}
\]

\vspace{0.5cm}

3) На координатной плоскости:

Отметим точки:
\( (1,\; 3) \),
\( (2,\; 2) \),
\( (3,\; \frac{11}{7}) \approx 1{,}57 \),
\( (4,\; \frac{4}{3}) \approx 1{,}33 \)

Заметим, что \( b_n = \frac{1}{2} + \frac{7{,}5}{2n + 1} \) — это убывающая дробно-линейная функция.

При \( n \to \infty \):

\[
\frac{7{,}5}{2n + 1} \to 0 \Rightarrow b_n \to \frac{1}{2}
\]

Следовательно, график стремится к горизонтальной асимптоте \( y = \frac{1}{2} \), но никогда её не достигает.