ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 665 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что последовательность (a_n), где a_n=(5n-1)/(n+2), является возрастающей. Изобразите на координатной плоскости первые четыре члена этой последовательности.

Дана последовательность:

\[
a_n = \frac{5n — 1}{n + 2} = \frac{5(n + 2) — 11}{n + 2};
\]

\[
a_n = 5 — \frac{11}{n + 2}, \quad a_{n+1} = 5 — \frac{11}{n + 3};
\]

1) Последовательность возрастает:

\[
a_{n+1} — a_n = \left(5 — \frac{11}{n + 3}\right) — \left(5 — \frac{11}{n + 2}\right);
\]

\[
a_{n+1} — a_n = \frac{11}{n + 2} — \frac{11}{n + 3};
\]

\[
a_{n+1} — a_n = \frac{11(n + 3) — 11(n + 2)}{(n + 2)(n + 3)};
\]

\[
a_{n+1} — a_n = \frac{11}{(n + 2)(n + 3)} > 0;
\]

2) Первые четыре члена:

\[
a_1 = 5 — \frac{11}{1 + 2} = 5 — \frac{11}{3} = \frac{15}{3} — \frac{11}{3} = \frac{4}{3};
\]

\[
a_2 = 5 — \frac{11}{2 + 2} = 5 — \frac{11}{4} = \frac{20}{4} — \frac{11}{4} = \frac{9}{4};
\]

\[
a_3 = 5 — \frac{11}{3 + 2} = 5 — \frac{11}{5} = \frac{25}{5} — \frac{11}{5} = \frac{14}{5};
\]

\[
a_4 = 5 — \frac{11}{4 + 2} = 5 — \frac{11}{6} = \frac{30}{6} — \frac{11}{6} = \frac{19}{6};
\]

3) На координатной плоскости:

Дана последовательность:

\[
a_n = \frac{5n — 1}{n + 2}
\]

Преобразуем выражение:

\[
a_n = \frac{5(n + 2) — 11}{n + 2} = \frac{5(n + 2)}{n + 2} — \frac{11}{n + 2} = 5 — \frac{11}{n + 2}
\]

Найдём следующий член:

\[
a_{n+1} = 5 — \frac{11}{n + 3}
\]

1) Докажем, что последовательность возрастает:

\[
a_{n+1} — a_n = \left(5 — \frac{11}{n + 3}\right) — \left(5 — \frac{11}{n + 2}\right)
\]

\[
a_{n+1} — a_n = \frac{11}{n + 2} — \frac{11}{n + 3}
\]

Вынесем общий множитель 11:

\[
a_{n+1} — a_n = 11 \left( \frac{1}{n + 2} — \frac{1}{n + 3} \right)
\]

Приведём к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{n + 2} — \frac{1}{n + 3} = \frac{(n + 3) — (n + 2)}{(n + 2)(n + 3)} = \frac{1}{(n + 2)(n + 3)}
\]

Значит:

\[
a_{n+1} — a_n = \frac{11}{(n + 2)(n + 3)}
\]

Так как знаменатель положителен при \( n \geq 1 \), то:

\[
a_{n+1} — a_n > 0 \Rightarrow a_{n+1} > a_n
\]

Следовательно, последовательность возрастает.

\[\space{0.5cm}\]

2) Найдём первые четыре члена последовательности:

\[
a_1 = 5 — \frac{11}{1 + 2} = 5 — \frac{11}{3} = \frac{15}{3} — \frac{11}{3} = \frac{4}{3}
\]

\[
a_2 = 5 — \frac{11}{2 + 2} = 5 — \frac{11}{4} = \frac{20}{4} — \frac{11}{4} = \frac{9}{4}
\]

\[
a_3 = 5 — \frac{11}{3 + 2} = 5 — \frac{11}{5} = \frac{25}{5} — \frac{11}{5} = \frac{14}{5}
\]

\[
a_4 = 5 — \frac{11}{4 + 2} = 5 — \frac{11}{6} = \frac{30}{6} — \frac{11}{6} = \frac{19}{6}
\]

3) На координатной плоскости:

Отметим точки \( (1, \frac{4}{3}) \), \( (2, \frac{9}{4}) \), \( (3, \frac{14}{5}) \), \( (4, \frac{19}{6}) \) и далее. Так как функция \( a_n = 5 — \frac{11}{n+2} \) является убывающей функцией дроби (так как знаменатель растёт), то весь член стремится к 5 снизу:

\[
\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 5
\]

Поэтому график будет стремиться к горизонтальной асимптоте \( y = 5 \), не достигая её.