ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 664 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите первые четыре члена последовательности (a_n), заданной формулой:

а) a_n=(2n)/(n+1); б) a_n=8n-n^2.

Какое предположение о характере монотонности последовательности (a_n) можно сделать? Докажите или опровергните справедливость этого предположения.

Найти первые четыре члена данной последовательности:
a) \( a_n = \frac{2n}{n+1} \);

\[
a_1 = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1;
\]

\[
a_2 = \frac{2 \cdot 2}{2 + 1} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3};
\]

\[
a_3 = \frac{2 \cdot 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = 1,5;
\]

\[
a_4 = \frac{2 \cdot 4}{4 + 1} = \frac{8}{5} = 1 \frac{3}{5};
\]

Последовательность возрастает:

\[
a_{n+1} = \frac{2(n+1)}{(n+1)+1} = \frac{2n+2}{n+2};
\]

\[
a_{n+1} — a_n = \frac{(2n+2)(n+1) — 2n(n+2)}{(n+1)(n+2)};
\]

\[
a_{n+1} — a_n = \frac{2n^2 + 2n + 2n + 2 — 2n^2 — 4n}{(n+1)(n+2)};
\]

\[
a_{n+1} — a_n = \frac{2}{(n+1)(n+2)};
\]

Так как \( a_{n+1} — a_n > 0 \), то \( a_{n+1} > a_n \).

Что и требовалось доказать.

б) \( a_n = 8n — n^2 \);

\[
a_1 = 8 \cdot 1 — 1^2 = 8 — 1 = 7;
\]

\[
a_2 = 8 \cdot 2 — 2^2 = 16 — 4 = 12;
\]

\[
a_3 = 8 \cdot 3 — 3^2 = 24 — 9 = 15;
\]

\[
a_4 = 8 \cdot 4 — 4^2 = 32 — 16 = 16;
\]

Не является монотонной:

\[
a_{n+1} = 8(n+1) — (n+1)^2;
\]

\[
a_{n+1} = 8n + 8 — n^2 — 2n — 1;
\]

\[
a_{n+1} = 6n + 7 — n^2;
\]

\[
a_{n+1} — a_n = -n^2 + 7 — 2n;
\]

Что и требовалось доказать.

а) \( a_n = \frac{2n}{n + 1} \)

Найдём первые четыре члена последовательности:

\[
a_1 = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1
\]

\[
a_2 = \frac{2 \cdot 2}{2 + 1} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}
\]

\[
a_3 = \frac{2 \cdot 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5
\]

\[
a_4 = \frac{2 \cdot 4}{4 + 1} = \frac{8}{5} = 1 \frac{3}{5}
\]

Рассмотрим разность между соседними членами:

\[
a_{n+1} = \frac{2(n+1)}{(n+1)+1} = \frac{2(n+1)}{n+2} = \frac{2n + 2}{n + 2}
\]

\[
a_n = \frac{2n}{n + 1}
\]

Вычислим разность:

\[
a_{n+1} — a_n = \frac{2n + 2}{n + 2} — \frac{2n}{n + 1}
\]

Приводим к общему знаменателю \( (n + 1)(n + 2) \):

\[
a_{n+1} — a_n = \frac{(2n + 2)(n + 1) — 2n(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)}
\]

Раскроем скобки в числителе:

\[
(2n + 2)(n + 1) = 2n^2 + 2n + 2n + 2 = 2n^2 + 4n + 2
\]

\[
2n(n + 2) = 2n^2 + 4n
\]

Теперь подставим:

\[
a_{n+1} — a_n = \frac{(2n^2 + 4n + 2) — (2n^2 + 4n)}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{2}{(n + 1)(n + 2)}
\]

Знаменатель всегда положительный при \( n \geq 1 \), числитель положителен, следовательно:

\[
a_{n+1} — a_n > 0
\]

А значит:

\[
a_{n+1} > a_n \Rightarrow \text{последовательность возрастает}
\]

б) \( a_n = 8n — n^2 \)

Найдём первые четыре члена последовательности:

\[
a_1 = 8 \cdot 1 — 1^2 = 8 — 1 = 7
\]

\[
a_2 = 8 \cdot 2 — 2^2 = 16 — 4 = 12
\]

\[
a_3 = 8 \cdot 3 — 3^2 = 24 — 9 = 15
\]

\[
a_4 = 8 \cdot 4 — 4^2 = 32 — 16 = 16
\]

Кажется, что значения сначала возрастают, а потом начинают убывать. Исследуем на монотонность.

Найдём общий вид следующего члена:

\[
a_{n+1} = 8(n + 1) — (n + 1)^2 = 8n + 8 — (n^2 + 2n + 1)
\]

\[
a_{n+1} = 8n + 8 — n^2 — 2n — 1 = -n^2 + 6n + 7
\]

Аналогично, \( a_n = 8n — n^2 \)

Найдём разность:

\[
a_{n+1} — a_n = (-n^2 + 6n + 7) — (8n — n^2)
\]

Раскроем скобки:

\[
a_{n+1} — a_n = -n^2 + 6n + 7 — 8n + n^2
\]

Приведём подобные:

\[
a_{n+1} — a_n = -2n + 7
\]

Знак этой разности зависит от значения \( n \).

\[
a_{n+1} — a_n > 0 \iff -2n + 7 > 0 \iff n < 3{,}5 \] Значит: — при \( n = 1, 2, 3 \): \( a_{n+1} > a_n \), последовательность возрастает;
— при \( n \geq 4 \): \( a_{n+1} < a_n \), последовательность убывает.

Следовательно:

\[
\text{последовательность не является монотонной}
\]