ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 663 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Возрастающей или убывающей является последовательность (u_n), в которой член u_n равен:

а) числу, противоположному n; в) пятой степени числа n;

б) числу, обратному n; г) n-й степени числа?

Возрастает или убывает такая последовательность, в которой:

a) \( u_n = \frac{1}{n}, \, u_{n+1} = \frac{1}{n+1}; \)

\[ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}, \, u_{n+1} < u_n; \]

Ответ: убывает.

б) \( u_n = -n, \, u_{n+1} = -(n + 1); \)

\[ -(n + 1) < -n, \, u_{n+1} < u_n; \]

Ответ: убывает.

в) \( u_n = n^5, \, u_{n+1} = (n + 1)^5; \)

\[ (n + 1)^5 > n^5, \, u_{n+1} > u_n; \]

Ответ: возрастает.

г) \( u_n = n^n, \, u_{n+1} = (n + 1)^{n+1}; \)

\[ (n + 1)^{n+1} > n^n, \, u_{n+1} > u_n; \]

Ответ: возрастает.

Определить, возрастает или убывает последовательность, заданная условиями.

a) \( u_n = \frac{1}{n}, \, u_{n+1} = \frac{1}{n+1} \)

Рассмотрим разность:
\[
u_n — u_{n+1} = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1}.
\]

Приведём дроби к общему знаменателю:
\[
u_n — u_{n+1} = \frac{n+1 — n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} > 0.
\]

Так как разность положительна, то:
\[
u_n > u_{n+1}.
\]

Следовательно, последовательность убывает.

Ответ:
Последовательность \textbf{убывает}.

б) \( u_n = -n, \, u_{n+1} = -(n+1) \)

Рассмотрим разность:
\[
u_n — u_{n+1} = -n — (-(n+1)) = -n + n + 1 = 1.
\]

Так как разность положительна (\(u_n — u_{n+1} > 0\)), то:
\[
u_n > u_{n+1}.
\]

Следовательно, последовательность убывает.

Ответ
Последовательность убывает

в) \( u_n = n^5, \, u_{n+1} = (n+1)^5 \)

Рассмотрим разность:
\[
u_{n+1} — u_n = (n+1)^5 — n^5.
\]

Используем формулу разности степеней:
\[
(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5.
\]

Подставим \(a = n\), \(b = 1\):
\[
(n+1)^5 = n^5 + 5n^4 \cdot 1 + 10n^3 \cdot 1^2 + 10n^2 \cdot 1^3 + 5n \cdot 1^4 + 1^5.
\]

Таким образом:
\[
u_{n+1} — u_n = n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 — n^5 =\]

\[5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 > 0.
\]

Так как разность положительна, то:
\[
u_{n+1} > u_n.
\]

Следовательно, последовательность возрастает.

Ответ:
Последовательность возрастает

г) \( u_n = n^n, \, u_{n+1} = (n+1)^{n+1} \)}

Рассмотрим отношение:
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}.
\]

Разделим показатели степени:
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^n \cdot (n+1)}{n^n} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \cdot (n+1).
\]

Так как \(n+1 > n\), то \(\frac{n+1}{n} > 1\), а при возведении в степень \(n\) это выражение остаётся больше 1. Умножение на \(n+1 > 1\) также сохраняет результат больше 1:
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1.
\]

Следовательно:
\[
u_{n+1} > u_n.
\]

Это означает, что последовательность возрастает.

Ответ:
Последовательность возрастает.