ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 661 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {x^2+y^2=41, xy=20};

б) {x^2+xy+y^2=37, x+xy+y=19}.

Решить систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 41, \\
xy = 20
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[ y = \frac{20}{x}; \]

Первое уравнение:
\[
x^2 + \frac{400}{x^2} = 41;
\]

\[
x^4 — 41x^2 + 400 = 0;
\]

\[
D = 41^2 — 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 — 1600 = 81,
\]

тогда:
\[
x_1^2 = \frac{41 — 9}{2} = 16, \quad x_2^2 = \frac{41 + 9}{2} = 25;
\]

\[
x_1 = \pm \sqrt{16} = \pm 4, \quad x_2 = \pm \sqrt{25} = \pm 5;
\]

\[
y_1 = \frac{20}{\pm 4}, \quad y_2 = \frac{20}{\pm 5}.
\]

Ответ:

\((-4; -5), (4; 5), (-5; -4), (5; 4)\).

b)
\[
\begin{cases}
x^2 + xy + y^2 = 37, \\
x + xy + y = 19
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
xy = 19 — (x + y);
\]

Первое уравнение:
\[
(x + y)^2 — xy = 37;
\]

\[
(x + y)^2 — 19 + (x + y) = 37;
\]

\[
(x + y)^2 + (x + y) — 56 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225,
\]

тогда:
\[
x + y_1 = \frac{-1 — 15}{2} = -8, \quad y_1 = -8 — x;
\]

\[
x + y_2 = \frac{-1 + 15}{2} = 7, \quad y_2 = 7 — x;
\]

Первое значение:
\[
x(-x — 8) = 19 + 8;
\]

\[
x^2 + 8x + 27 = 0;
\]

\[
D = 8^2 — 4 \cdot 27 = -44;
\]

\(D < 0\), значит решений нет.

Второе значение:
\[
x(7 — x) = 19 — 7;
\]

\[
x^2 — 7x + 12 = 0;
\]

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1,
\]

тогда:
\[
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4;
\]

\[
y_1 = 7 — 3 = 4, \quad y_2 = 7 — 4 = 3.
\]

Ответ:

\((3; 4), (4; 3)\).

Решение системы уравнений

a) Решение системы
Дана система уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 41, \\
xy = 20
\end{cases}
\]

Из второго уравнения выразим \(y\):
\[
y = \frac{20}{x}.
\]

Подставим это выражение в первое уравнение:
\[
x^2 + \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 41.
\]

Умножим на \(x^2\), чтобы избавиться от дробей:
\[
x^4 — 41x^2 + 400 = 0.
\]

Обозначим \(z = x^2\). Тогда уравнение примет вид:
\[
z^2 — 41z + 400 = 0.
\]

Найдем дискриминант:
\[
D = 41^2 — 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 — 1600 = 81.
\]

Корни уравнения:
\[
z_1 = \frac{41 — 9}{2} = 16, \quad z_2 = \frac{41 + 9}{2} = 25.
\]

Возвращаясь к \(x^2 = z\), получаем:
\[
x_1 = \pm\sqrt{16} = \pm 4, \quad x_2 = \pm\sqrt{25} = \pm 5.
\]

Для каждого значения \(x\) найдем \(y\):
\[
y = \frac{20}{x}.
\]

Рассмотрим все случаи:
\[
\text{Если } x = 4, \, y = \frac{20}{4} = 5.
\]

\[
\text{Если } x = -4, \, y = \frac{20}{-4} = -5.
\]

\[
\text{Если } x = 5, \, y = \frac{20}{5} = 4.
\]

\[
\text{Если } x = -5, \, y = \frac{20}{-5} = -4.
\]

Ответ:
\[
(-4; -5), \, (4; 5), \, (-5; -4), \, (5; 4).
\]

b) Решение системы
Дана система уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + xy + y^2 = 37, \\
x + xy + y = 19
\end{cases}
\]

Из второго уравнения выразим \(xy\):
\[
xy = 19 — (x + y).
\]

Подставим это выражение в первое уравнение:
\[
(x + y)^2 — xy = 37.
\]

Подставим значение \(xy\):
\[
(x + y)^2 — \big(19 — (x + y)\big) = 37.
\]

Упростим:
\[
(x + y)^2 + (x + y) — 56 = 0.
\]

Обозначим \(z = x + y\). Тогда уравнение примет вид:
\[
z^2 + z — 56 = 0.
\]

Найдем дискриминант:
\[
D = 1^2 + 4 \cdot 56 = 225.
\]

Корни уравнения:
\[
z_1 = \frac{-1 — 15}{2} = -8, \quad z_2 = \frac{-1 + 15}{2} = 7.
\]

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: \(x + y = -8\)
Подставим в уравнение:
\[
x(-x — 8) = 19 + 8.
\]

Получаем квадратное уравнение:
\[
x^2 + 8x + 27 = 0.
\]

Найдем дискриминант:
\[
D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 27 = 64 — 108 = -44.
\]

Так как \(D < 0\), корней нет.

Случай 2: \(x + y = 7\)
Подставим в уравнение:
\[
x(7 — x) = 19 — 7.
\]

Получаем квадратное уравнение:
\[
x^2 — 7x + 12 = 0.
\]

Найдем дискриминант:
\[
D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1.
\]

Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4.
\]

Соответствующие значения \(y\):
\[
\text{Если } x = 3, \, y = 7 — 3 = 4.
\]

\[
\text{Если } x = 4, \, y = 7 — 4 = 3.
\]

Ответ:
\[
(3; 4), \, (4; 3).
\]