ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 660 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство: а) 2x^4-5x^2-12 < 0; б) x^3-5x^2-x+5 > 0.

Решить неравенство:

a) \( 2x^4 — 5x^2 — 12 < 0 \);

\[ D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 12 = 25 + 96 = 121, \]

тогда:

\[ x_1^2 = \frac{5 — 11}{2 \cdot 2} = -1,5, \quad x_2^2 = \frac{5 + 11}{2 \cdot 2} = 4; \]

\[ (x^2 + 1,5)(x^2 — 4) < 0; \]

\[ (x + 2)(x — 2) < 0; \]

\[ -2 < x < 2; \]

Ответ: \((-2; 2)\).

б) \( x^3 — 5x^2 — x + 5 > 0; \)

\[ x^2(x — 5) — (x — 5) > 0; \]

\[ (x^2 — 1)(x — 5) > 0; \]

\[ (x + 1)(x — 1)(x — 5) > 0; \]

\[ -1 < x < 1, \quad x > 5; \]

Ответ: \((-1; 1) \cup (5; +\infty)\).

Решить неравенство:

a) \( 2x^4 — 5x^2 — 12 < 0 \)

1. Представим неравенство в виде функции от \( x^2 \):
Пусть \( y = x^2 \), тогда получаем: \( 2y^2 — 5y — 12 < 0 \)

2. Решим квадратное неравенство:

Квадратное уравнение: \( 2y^2 — 5y — 12 = 0 \)

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 \)

Находим корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{5 — 11}{4} = -1,5 \)

\( y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 11}{4} = 4 \)

3. Переходим к решению неравенства \( (y + 1,5)(y — 4) < 0 \):

Это произведение двух выражений, и оно будет меньше нуля, если одно из выражений отрицательно, а другое положительно.

Решаем \( (y + 1,5)(y — 4) < 0 \), получаем:

\( -1,5 < y < 4 \)

Поскольку \( y = x^2 \), то \( -1,5 < x^2 < 4 \), но так как \( x^2 \geq 0 \), то \( 0 \leq x^2 < 4 \). Следовательно:

\( -2 < x < 2 \)

Ответ: \( (-2; 2) \)

b) \( x^3 — 5x^2 — x + 5 > 0 \)

1. Группируем и выделяем общий множитель:

Перепишем исходное неравенство:

\( x^3 — 5x^2 — x + 5 > 0 \)

Группируем слагаемые:

\( x^2(x — 5) — (x — 5) > 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x — 5) \):

\( (x^2 — 1)(x — 5) > 0 \)

2. Разложим \( x^2 — 1 \) на множители:

Получаем:

\( (x + 1)(x — 1)(x — 5) > 0 \)

3. Решаем неравенство \( (x + 1)(x — 1)(x — 5) > 0 \):

Для такого произведения выражений нужно, чтобы число из каждой группы знаков было положительным.

Это будет выполнено, если \( -1 < x < 1 \) или \( x > 5 \).

Ответ: \( (-1; 1) \cup (5; +\infty) \)