ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 659 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько членов последовательности (b_n), где b_n=(n^2-12)/n, изображаются в координатной плоскости точками, расположенными внутри полосы, ограниченной прямыми y=3 и у=6? Найдите эти члены последовательности.

Дана последовательность:

\[ b_n = \frac{n^2 — 12}{n}, \quad 3 < b_n < 6 \]

1) Первое неравенство:

\[ \frac{n^2 — 12}{n} > 3, \quad n^2 — 12 > 3n \]

\[ n^2 — 3n — 12 > 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 3^2 + 4 \cdot 12 = 9 + 48 = 57 \]

Корни уравнения:

\[ n_1 = \frac{3 — \sqrt{57}}{2}, \quad n_2 = \frac{3 + \sqrt{57}}{2} \]

\[ n < \frac{3 — \sqrt{57}}{2}, \quad n > \frac{3 + \sqrt{57}}{2} \]

2) Второе неравенство:

\[ \frac{n^2 — 12}{n} \leq 6, \quad n^2 — 12 < 6n \]

\[ n^2 — 6n — 12 < 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 6^2 + 4 \cdot 12 = 36 + 48 = 84 \]

Корни уравнения:

\[ n = \frac{6 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{21}}{2} = 3 \pm \sqrt{21} \]

\[ 3 — \sqrt{21} < n < 3 + \sqrt{21} \]

3) Значения членов:

\[ b_6 = \frac{36 — 12}{6} = \frac{24}{6} = 4 \]

\[ b_7 = \frac{49 — 12}{7} = \frac{37}{7} = 5 \frac{2}{7} \]

Ответ:

\[ а_6 = 4, \quad а_7 = 5 \frac{2}{7}. \]

Дана последовательность:

\( b_n = \frac{n^2 — 12}{n}, \quad 3 < b_n < 6 \)

1) Первое неравенство:

Необходимо решить неравенство \( \frac{n^2 — 12}{n} > 3 \):

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\( \frac{n^2 — 12}{n} > 3 \) ⟹ \( n^2 — 12 > 3n \)

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения, чтобы привести его к виду квадратичного неравенства:

\( n^2 — 12 > 3n \) ⟹ \( n^2 — 3n — 12 > 0 \)

Это квадратное неравенство, для которого нам нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения \( n^2 — 3n — 12 = 0 \).

Для этого находим дискриминант:

Для уравнения \( n^2 — 3n — 12 = 0 \) дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 9 + 48 = 57 \)

Находим корни уравнения:

Корни уравнения находятся по формуле:

\( n_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{57}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — \sqrt{57}}{2} \) и \( n_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{57}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{57}}{2} \)

Теперь решим неравенство \( n^2 — 3n — 12 > 0 \). Для этого рассмотрим знаки на интервалах, определяемых корнями \( n_1 \) и \( n_2 \).

Неравенство \( n^2 — 3n — 12 > 0 \) выполняется при \( n < n_1 \) или \( n > n_2 \).

Таким образом, решение первого неравенства:

\( n < \frac{3 — \sqrt{57}}{2} \) или \( n > \frac{3 + \sqrt{57}}{2} \)

2) Второе неравенство:

Решим второе неравенство \( \frac{n^2 — 12}{n} \leq 6 \):

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\( \frac{n^2 — 12}{n} \leq 6 \) ⟹ \( n^2 — 12 \leq 6n \)

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\( n^2 — 12 \leq 6n \) ⟹ \( n^2 — 6n — 12 < 0 \)

Теперь решим квадратное неравенство \( n^2 — 6n — 12 < 0 \) путем нахождения корней соответствующего уравнения \( n^2 — 6n — 12 = 0 \).

Для этого находим дискриминант:

Для уравнения \( n^2 — 6n — 12 = 0 \) дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 36 + 48 = 84 \)

Находим корни уравнения:

Корни уравнения находятся по формуле:

\( n = \frac{-(-6) \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{21}}{2} = 3 \pm \sqrt{21} \)

Теперь решим неравенство \( n^2 — 6n — 12 < 0 \). Для этого рассмотрим знаки на интервалах, определяемых корнями \( 3 — \sqrt{21} \) и \( 3 + \sqrt{21} \).

Неравенство \( n^2 — 6n — 12 < 0 \) выполняется, если:

\( 3 — \sqrt{21} < n < 3 + \sqrt{21} \)

3) Значения членов:

Теперь вычислим значения последовательности для \( n = 6 \) и \( n = 7 \):

Для \( b_6 \):
\( b_6 = \frac{6^2 — 12}{6} = \frac{36 — 12}{6} = \frac{24}{6} = 4 \)

Для \( b_7 \):
\( b_7 = \frac{7^2 — 12}{7} = \frac{49 — 12}{7} = \frac{37}{7} = 5 \frac{2}{7} \)

Ответ:

\[ а_6 = 4, \quad а_7 = 5 \frac{2}{7}. \]