ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 651 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Последовательности (a_n) и (b_n) заданы формулами a_n=n^3-6. Докажите, что при любом n верно неравенство a_n?b_n.

Даны последовательности:

\( a_n = n^3 — 6 \), \( b_n = 3n^2 — 8n \);

Докажем неравенство:

\( a_n \geq b_n \):

\( n^3 — 6 \geq 3n^2 — 8n \);

\( n^3 — 3n^2 + 8n — 6 \geq 0 \);

Таблица:
\[
\begin{array}{cccc}
1 & -3 & 8 & -6 \\
1 & 1 & -2 & 6 & 0 \\
\end{array}
\]

\( (n — 1)(n^2 — 2n + 6) \geq 0 \);

\( D = 2^2 — 4 \cdot 6 = 4 — 24 = -20 \);

\( D < 0 \) и \( n^2 — 2n + 6 > 0 \), значит \( n \geq 1 \);

Что и требовалось доказать.

Даны последовательности:

\( a_n = n^3 — 6, \quad b_n = 3n^2 — 8n

Неравенство:

Докажем, что \( a_n \geq b_n \), т.е. \( n^3 — 6 \geq 3n^2 — 8n \):

Преобразуем неравенство:
\[
n^3 — 6 \geq 3n^2 — 8n
\]

Переносим все элементы в одну часть неравенства:
\[
n^3 — 3n^2 + 8n — 6 \geq 0
\]

Получаем выражение:
\[
n^3 — 3n^2 + 8n — 6 \geq 0
\]
Переходим к решению этого неравенства. Мы будем использовать метод факторизации.

Таблица значений:

Рассмотрим таблицу значений для многочлена \( n^3 — 3n^2 + 8n — 6 \):

\[ \begin{array}{cccc} 1 & -3 & 8 & -6 \\ 1 & 1 & -2 & 6 & 0 \\ \end{array} \]

Применяем метод факторизации, представив выражение как произведение двух множителей:
\[
(n — 1)(n^2 — 2n + 6) \geq 0
\]

Рассчитываем дискриминант для квадратичного выражения \( n^2 — 2n + 6 \):
\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 — 24 = -20
\]

Так как дискриминант отрицателен \( D < 0 \), это означает, что квадратный многочлен \( n^2 — 2n + 6 \) всегда положителен для всех значений \( n \). Следовательно, \( n^2 — 2n + 6 > 0 \) всегда.

Таким образом, \( (n — 1)(n^2 — 2n + 6) \geq 0 \) выполняется, если \( n \geq 1 \).

Ответ: \( n \geq 1 \). Это и требовалось доказать.