ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 649 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Есть ли среди членов последовательности (a_n) отрицательные числа и если да, то каковы их номера, если:

а) a_n=n^2-11n+28; в) a_n=0,5n^2-3n+2;

б) a_n=1,2n^2+n+0,2; г) a_n=0,1n^3-1,6n?

Найти отрицательные члены данной последовательности:

a) \( a_n = n^2 — 11n + 28 \);

\( n^2 — 11n + 28 < 0 \);

\( D = 11^2 — 4 \cdot 28 = 121 — 112 = 9 \), тогда:

\( n_1 = \frac{11 — 3}{2} = 4 \) и \( n_2 = \frac{11 + 3}{2} = 7 \);

\( (n — 4)(n — 7) < 0 \);

\( 4 < n < 7 \);

Ответ: 5; 6.

б) \( a_n = 1,2n^2 + n + 0,2 \);

\( 6n^2 + 5n + 1 < 0 \);

\( D = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1 \), тогда:

\( n_1 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 6} = -1 \),

\( n_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{3} \);

\( (n + 1)(n + \frac{1}{3}) < 0 \);

\( -1 < n < -\frac{1}{3} \);

Ответ: нет.

в) \( a_n = 0,5n^2 — 3n + 2 \);

\( n^2 — 6n + 4 < 0 \);

\( D = 6^2 — 4 \cdot 4 = 36 — 16 = 20 \), тогда:

\( n = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \);

\( 3 — \sqrt{5} < n < 3 + \sqrt{5} \);

Ответ: 1; 2; 3; 4; 5.

г) \( a_n = 0,1n^3 — 1,6n \);

\( n^3 — 16n < 0 \);

\( n(n^2 — 16) < 0 \);

\( n(n — 4)(n + 4) < 0 \);

\( -4 < n < 0, 0 < n < 4 \);

Ответ: 1; 2; 3.

Заданы последовательности:

а) \( a_n = n^2 — 11n + 28 \):

Найдем отрицательные члены последовательности \( a_n = n^2 — 11n + 28 \), решив неравенство \( n^2 — 11n + 28 < 0 \):

Преобразуем неравенство:
\[
n^2 — 11n + 28 < 0
\]

Рассчитаем дискриминант \( D \):
\[
D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 — 112 = 9
\]

Находим корни квадратного уравнения:
\[
n_1 = \frac{11 — 3}{2} = 4, \quad n_2 = \frac{11 + 3}{2} = 7
\]

Пишем факторизованное выражение:
\[
(n — 4)(n — 7) < 0
\]

Из неравенства \( (n — 4)(n — 7) < 0 \) получаем:
\[
4 < n < 7
\]

Ответ: 5; 6.

б) \( a_n = 1,2n^2 + n + 0,2 \):

Найдем отрицательные члены последовательности \( a_n = 1,2n^2 + n + 0,2 \), решив неравенство \( 6n^2 + 5n + 1 < 0 \):

Преобразуем неравенство:
\[
6n^2 + 5n + 1 < 0
\]

Рассчитаем дискриминант \( D \):
\[
D = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1
\]

Находим корни квадратного уравнения:
\[
n_1 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 6} = -1, \quad n_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{3}
\]

Пишем факторизованное выражение:
\[
(n + 1)(n + \frac{1}{3}) < 0
\]

Из неравенства \( (n + 1)(n + \frac{1}{3}) < 0 \) получаем:
\[
-1 < n < -\frac{1}{3}
\]

Ответ: нет.

в) \( a_n = 0,5n^2 — 3n + 2 \):

Найдем отрицательные члены последовательности \( a_n = 0,5n^2 — 3n + 2 \), решив неравенство \( n^2 — 6n + 4 < 0 \):

Преобразуем неравенство:
\[
n^2 — 6n + 4 < 0
\]

Рассчитаем дискриминант \( D \):
\[
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 — 16 = 20
\]

Находим корни квадратного уравнения:
\[
n = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}
\]

Из неравенства \( 3 — \sqrt{5} < n < 3 + \sqrt{5} \) получаем:
\[
3 — \sqrt{5} < n < 3 + \sqrt{5}
\]

Это означает, что \( n \) может быть любым числом в пределах от \( 1 \) до \( 5 \).

Ответ: 1; 2; 3; 4; 5.

г) \( a_n = 0,1n^3 — 1,6n \):

Найдем отрицательные члены последовательности \( a_n = 0,1n^3 — 1,6n \), решив неравенство \( n^3 — 16n < 0 \):

Преобразуем неравенство:
\[
n^3 — 16n < 0
\]

Выносим \( n \) как общий множитель:
\[
n(n^2 — 16) < 0
\]

Разлагаем на множители:
\[
n(n — 4)(n + 4) < 0
\]

Из неравенства \( n(n — 4)(n + 4) < 0 \) получаем:
\[
-4 < n < 0, \quad 0 < n < 4
\]

Ответ: 1; 2; 3.