ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 648 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Встретится ли среди членов последовательности (x_n) число 0 (при положительном ответе укажите, на каком месте оно записано), если:

а) x_n=n^3-n^2-9n+9; в) x_n=n^4-20n^2+64;

б) x_n=2n^2-21n-11; г) x_n=n^3+n-10?

Принадлежит ли данной \( x_n \) последовательности число 0:

a) \( x_n = n^3 — n^2 — 9n + 9 \):

\[
n^2(n-1) — 9(n-1) = 0;
(n^2 — 9)(n-1) = 0;\]

\[(n+3)(n-1)(n-3) = 0;
n_1 = -3, \, n_2 = 1, \, n_3 = 3;
\]

Ответ: \( 1; 3 \).

б) \( x_n = 2n^2 — 21n — 11 \):

\[
2n^2 — 21n — 11 = 0;\]

\[D = 21^2 + 4 \cdot 2 \cdot 11 = 441 + 88 = 529, \, \text{тогда:}\]

\[n_1 = \frac{21 — 23}{2 \cdot 2} = -0,5 \, \text{и} \, n_2 = \frac{21 + 23}{2 \cdot 2} = 11;
\]

Ответ: \( 11 \).

в) \( x_n = n^4 — 20n^2 + 64 \):

\[
(n^2)^2 — 20n^2 + 64 = 0;
D = 20^2 — 4 \cdot 64 = 400 — 256 = 144, \, \text{тогда:}\]

\[n_1^2 = \frac{20 — 12}{2} = 4 \, \text{и} \, n_2^2 = \frac{20 + 12}{2} = 16;\]
\[n_1 = \pm \sqrt{4} = \pm 2, \, n_2 = \pm \sqrt{16} = \pm 4;
\]

Ответ: \( 2; 4 \).

г) \( x_n = n^3 + n — 10 \):

\[
\begin{array}{c|c|c|c}
n & n^3 & n^3 + n & x_n \\
\hline
1 & 1 & 1 & -10 \\
2 & 8 & 10 & 0 \\
\end{array}
\]

\[
(n-2)(n^2 + 2n + 5) = 0;
D = 2^2 — 4 \cdot 5 = 4 — 20 = -16;\]
\[D < 0, \, \text{значит} \, n = 2;
\]

Ответ: \( 2 \).

Заданы последовательности:

а) \( x_n = n^3 — n^2 — 9n + 9 \):

Для того чтобы найти, при каком значении \( n \) последовательность \( x_n \) равна нулю, решим уравнение:

Подставим \( x_n = 0 \) в выражение для \( x_n \):
\[
n^3 — n^2 — 9n + 9 = 0
\]

Выносим общий множитель \( (n-1) \):
\[
n^2(n-1) — 9(n-1) = 0
\]

Получаем:
\[
(n^2 — 9)(n-1) = 0
\]

Разлагаем на множители:
\[
(n+3)(n-1)(n-3) = 0
\]

Корни уравнения:
\[
n_1 = -3, \quad n_2 = 1, \quad n_3 = 3
\]

Ответ: \( 1; 3 \).

б) \( x_n = 2n^2 — 21n — 11 \):

Для нахождения корней уравнения, при которых \( x_n = 0 \), решим уравнение:

Подставим \( x_n = 0 \) в выражение для \( x_n \):
\[
2n^2 — 21n — 11 = 0
\]

Рассчитаем дискриминант:
\[
D = (-21)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 441 + 88 = 529
\]

Находим корни с помощью формулы для квадратного уравнения:
\[
n_1 = \frac{-(-21) — \sqrt{529}}{2 \cdot 2} = \frac{21 — 23}{4} = -0.5
\]

\[
n_2 = \frac{-(-21) + \sqrt{529}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 23}{4} = 11
\]

Ответ: \( 11 \).

в) \( x_n = n^4 — 20n^2 + 64 \):

Решаем уравнение для \( x_n = 0 \):

Подставим \( x_n = 0 \) в выражение для \( x_n \):
\[
n^4 — 20n^2 + 64 = 0
\]

Пусть \( n^2 = z \), тогда уравнение становится:
\[
z^2 — 20z + 64 = 0
\]

Рассчитаем дискриминант:
\[
D = (-20)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 — 256 = 144
\]

Находим корни уравнения для \( z \):
\[
z_1 = \frac{20 — 12}{2} = 4, \quad z_2 = \frac{20 + 12}{2} = 16
\]

Возвращаемся к переменной \( n \), т.е. \( n^2 = 4 \) и \( n^2 = 16 \):
\[
n_1 = \pm \sqrt{4} = \pm 2, \quad n_2 = \pm \sqrt{16} = \pm 4
\]

Ответ: \( 2; 4 \).

г) \( x_n = n^3 + n — 10 \):

Решим уравнение для \( x_n = 0 \):

Подставим \( x_n = 0 \) в выражение для \( x_n \):
\[
n^3 + n — 10 = 0
\]

Проверим значения \( n = 1 \) и \( n = 2 \):
\[
n = 1: \quad 1^3 + 1 — 10 = -8 \quad (\text{не подходит})
\]

\[
n = 2: \quad 2^3 + 2 — 10 = 0 \quad (\text{подходит})
\]

Таким образом, \( n = 2 \) является корнем.

Используем факторизацию для нахождения других корней:
\[
(n-2)(n^2 + 2n + 5) = 0
\]

Рассчитываем дискриминант для \( n^2 + 2n + 5 = 0 \):
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 — 20 = -16
\]
Поскольку \( D < 0 \), у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: \( 2 \).