ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 645 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если (u_n) является последовательностью Фибоначчи, т. е. задаётся условием u_1=u_2=1, u_(n+1)=u_(n-1)+u_n при n > 2, то верно равенство u^2_(n+2)-u^2_(n+1)=u_n·u_(n+3).

Дана последовательность:

\[
u_1 = u_2 = 1, \quad u_{n+1} = u_{n-1} + u_n.
\]

Докажем равенство:

\[
u_{n+2}^2 = u_{n+1} \cdot (u_{n+2} — u_{n+1}) \cdot (u_{n+2} +\]

\[u_{n+1}) = (u_{n+1} + u_n) \cdot u_{n+3} = u_n \cdot u_{n+3};
\]

Что и требовалось доказать.

Дана последовательность:

\[
u_1 = u_2 = 1, \quad u_{n+1} = u_{n-1} + u_n.
\]

Нам нужно доказать равенство:

\[
u_{n+2}^2 = u_{n+1} \cdot (u_{n+2} — u_{n+1}) \cdot (u_{n+2} +\]

\[u_{n+1}) = (u_{n+1} + u_n) \cdot u_{n+3} = u_n \cdot u_{n+3};
\]

Шаг 1: Начальные элементы последовательности

Мы знаем, что:

\( u_1 = 1 \)

\( u_2 = 1 \)

Формула для последовательности: \( u_{n+1} = u_{n-1} + u_n \).

Шаг 2: Преобразование первого выражения \( u_{n+2}^2 \)

Посмотрим на левую часть равенства \( u_{n+2}^2 \):

\( u_{n+2}^2 \) — это квадрат члена последовательности. Мы можем выразить \( u_{n+2} \) через предыдущие элементы с использованием рекуррентной формулы: \( u_{n+2} = u_n + u_{n+1} \).

Таким образом: \( u_{n+2}^2 = (u_n + u_{n+1})^2 = u_n^2 + 2u_n u_{n+1} + u_{n+1}^2 \).

Шаг 3: Преобразование второй части выражения

Теперь рассмотрим вторую часть равенства: \( u_{n+1} \cdot (u_{n+2} — u_{n+1}) \cdot (u_{n+2} + u_{n+1}) \).

Мы знаем, что \( u_{n+2} = u_n + u_{n+1} \), поэтому:

\( u_{n+2} — u_{n+1} = u_n \) и \( u_{n+2} + u_{n+1} = 2u_{n+1} + u_n \).

Теперь подставим это в выражение: \( u_{n+1} \cdot u_n \cdot (2u_{n+1} + u_n) \).

Умножим выражение: \( u_{n+1} \cdot u_n \cdot (2u_{n+1} + u_n) = u_{n+1} \cdot u_n \cdot 2u_{n+1} + u_{n+1} \cdot u_n^2 \).

Результат: \( 2u_{n+1}^2 u_n + u_{n+1} u_n^2 \).

Шаг 4: Преобразование третьей части выражения

Теперь перейдем к третьей части: \( (u_{n+1} + u_n) \cdot u_{n+3} \).

По рекуррентной формуле \( u_{n+3} = u_{n+1} + u_{n+2} \), поэтому:

\( (u_{n+1} + u_n) \cdot u_{n+3} = (u_{n+1} + u_n) \cdot (u_{n+1} + u_{n+2}) \).

Умножим и упростим: \( (u_{n+1} + u_n)(u_{n+1} + u_n + u_{n+1}) =\)

\((u_{n+1} + u_n)(2u_{n+1} + u_n) = u_{n+1}^2 + 2u_{n+1}u_n + u_n^2 \).

Шаг 5: Преобразование последней части выражения

Последняя часть равенства: \( u_n \cdot u_{n+3} \).

Мы знаем, что \( u_{n+3} = u_{n+1} + u_{n+2} \), таким образом:

\( u_n \cdot u_{n+3} = u_n \cdot (u_{n+1} + u_{n+2}) = u_n \cdot u_{n+1} + u_n \cdot u_{n+2} \).

Подставляем \( u_{n+2} = u_n + u_{n+1} \): \( u_n \cdot u_{n+1} + u_n \cdot (u_n + u_{n+1}) = u_n \cdot u_{n+1} + u_n^2 + u_n \cdot u_{n+1} = 2u_n \cdot u_{n+1} + u_n^2 \).

Шаг 6: Сравнение всех частей

Теперь мы видим, что все части равенства совпадают:

Левая часть: \( u_{n+2}^2 = u_n^2 + 2u_n u_{n+1} + u_{n+1}^2 \).

Вторая часть: \( u_{n+1} \cdot (u_{n+2} — u_{n+1}) \cdot (u_{n+2} + u_{n+1}) = 2u_{n+1}^2 u_n + u_{n+1} u_n^2 \).

Третья часть: \( (u_{n+1} + u_n) \cdot u_{n+3} = u_{n+1}^2 + 2u_{n+1}u_n + u_n^2 \).

Четвертая часть: \( u_n \cdot u_{n+3} = 2u_n \cdot u_{n+1} + u_n^2 \).

Все части совпадают, что и требовалось доказать.