ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 640 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пусть (a_n) — последовательность приближенных значений дроби 1/6 взятых с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Найдите a_1, a_2, a_3, a_4, a_10, a_31, a_100.

Последовательность \( (a_n) \):

\[
a_n = \frac{1}{6} — \text{с недостатком};
\]

\[
a_1 = 0,1;
\]

\[
a_2 = 0,16;
\]

\[
a_3 = 0,166;
\]

\[
a_4 = 0,1666;
\]

\[
a_{10} = 0,166666666;
\]

\[
a_{31} = 0,166\ldots666 \quad \text{(30 шестерок)};
\]

\[
a_{100} = 0,1\underbrace{666\ldots666}_{99 \text{ шестерок}};
\]

Последовательность \( (a_n) \) задана формулой:

\( a_n = \frac{1}{6} — \text{с недостатком}; \)

Это означает, что каждый член последовательности является приближением числа \( \frac{1}{6} \), но с недостатком, то есть все числа в последовательности будут немного меньше \( \frac{1}{6} \). Чтобы рассмотреть подробнее, давайте представим первые несколько членов последовательности.

Первый член: \( a_1 = 0,1 \).

Значение первого члена \( a_1 = 0,1 \) явно меньше \( \frac{1}{6} \), так как \( \frac{1}{6} \approx 0,1666… \). Это первое приближение.

Второй член: \( a_2 = 0,16 \).

Здесь последовательность становится чуть более точной, приближая \( \frac{1}{6} \) с меньшим недостатком, чем в случае первого члена.

Третий член: \( a_3 = 0,166 \).

Теперь мы видим еще более точное приближение. Хотя число всё еще меньше \( \frac{1}{6} \), оно уже ближе к нему, чем предыдущие значения.

Четвертый член: \( a_4 = 0,1666 \).

Член \( a_4 \) приближает \( \frac{1}{6} \) с ещё меньшим недостатком, представляя более точное приближение.

Десятый член: \( a_{10} = 0,166666666 \).

С каждым шагом последовательность становится всё более точной. \( a_{10} \) приближает число \( \frac{1}{6} \) с большим количеством знаков после запятой.

Тридцать первый член: \( a_{31} = 0,166\ldots666 \quad \text{(30 шестерок)}; \)

Здесь мы видим, что последовательность продолжает приближаться к \( \frac{1}{6} \), и на 31-м шаге уже имеется 30 шестерок в числе после запятой.

Сотый член: \( a_{100} = 0,1\underbrace{666\ldots666}_{99 \text{ шестерок}}; \)

На 100-м шаге последовательность уже имеет 99 шестерок, приближая \( \frac{1}{6} \) с высокой точностью. Это число является очень близким к точному значению \( \frac{1}{6} \), но всё ещё немного меньше.

Вывод: Каждый новый член последовательности приближает значение \( \frac{1}{6} \) с уменьшением недостатка. С увеличением номера члена последовательности точность приближения возрастает, но число остаётся немного меньше \( \frac{1}{6} \). В конечном итоге последовательность стремится к \( \frac{1}{6} \), но не достигает его, оставаясь с недостатком.