ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 628 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Перемножив многочлены вида ax+3 и x^2+bx-2 с переменной х, получили многочлен вида ax^3+23x^2+7x-6. Найдите коэффициенты а и b.

Даны многочлены:
\[
m_1 = ax + 3, \quad m_2 = x^2 + bx — 2; \quad m_1 \cdot m_2 = ax^3 + 23x^2 + 7x — 6;
\]

1) Произведение многочленов:
\[
m_1 \cdot m_2 = (ax + 3)(x^2 + bx — 2);
\]

\[
m_1 \cdot m_2 = ax^3 + abx^2 — 2ax + 3x^2 + 3bx — 6;
\]

\[
m_1 \cdot m_2 = ax^3 + (3 + ab)x^2 + (3b — 2a)x — 6;
\]

2) Первое уравнение:
\[
3 + ab = 23; \quad ab = 20, \quad b = \frac{20}{a};
\]

3) Второе уравнение:
\[
3b — 2a = 7;
\]

\[
60 — 2a = 7;
\]

\[
2a^2 + 7a — 60 = 0;
\]

\[
D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 60 = 49 + 480 = 529, \quad \text{тогда:}
\]

\[
a_1 = \frac{-7 — 23}{2 \cdot 2} = -\frac{15}{2}, \quad a_2 = \frac{-7 + 23}{2 \cdot 2} = 4;
\]

\[
b_1 = \frac{20}{-7.5} = -\frac{20}{3}, \quad b_2 = \frac{20}{4} = 5;
\]

Ответ
\[
a = — 7 \frac{1}{2}, \, b = — 2 \frac{2}{3}; \quad a = 4, \, b = 5.
\]

Задача:

Даны многочлены:

\(m_1 = ax + 3, \quad m_2 = x^2 + bx — 2; \quad m_1 \cdot m_2 = ax^3 + 23x^2 + 7x — 6;\)

Шаг 1: Произведение многочленов:

Произведение \(m_1 \cdot m_2\) выглядит следующим образом:

\[
m_1 \cdot m_2 = (ax + 3)(x^2 + bx — 2);
\]

Раскроем скобки:

\[
m_1 \cdot m_2 = ax^3 + abx^2 — 2ax + 3x^2 + 3bx — 6;
\]

Соберем все члены:

\[
m_1 \cdot m_2 = ax^3 + (3 + ab)x^2 + (3b — 2a)x — 6;
\]

Шаг 2: Составим уравнения для коэффициентов.

Сравнив полученную форму с исходной формой многочлена \(m_1 \cdot m_2 = ax^3 + 23x^2 + 7x — 6\), получаем систему уравнений:

Решим первую систему:

Из уравнения \(3 + ab = 23\) получаем:

\[
ab = 20;
\]

Из этого следует, что \(b = \frac{20}{a}\).

Шаг 3: Подставим это в второе уравнение \(3b — 2a = 7\):

\[
3\left(\frac{20}{a}\right) — 2a = 7;
\]

Умножим на \(a\) и упростим:

\[
60 — 2a^2 = 7;
\]

Переносим все в одну сторону:

\[
2a^2 + 7a — 60 = 0;
\]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение:

Дискриминант:

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-60) = 49 + 480 = 529;
\]

Корни уравнения:

\[
a_1 = \frac{-7 — 23}{2 \cdot 2} = -\frac{15}{2}, \quad a_2 = \frac{-7 + 23}{2 \cdot 2} = 4;
\]

Теперь найдём значения \(b\) для каждого \(a\):

Для \(a_1 = -\frac{15}{2}\):

\[
b_1 = \frac{20}{-7.5} = -\frac{20}{3};
\]

Для \(a_2 = 4\):

\[
b_2 = \frac{20}{4} = 5;
\]

Ответ:

\(a = -7 \frac{1}{2}, \, b = -2 \frac{2}{3}; \quad a = 4, \, b = 5.\)