ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 621 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а его площадь равна 150 см^2. Найдите катеты этого треугольника.

Пусть \(a, b\) — катеты треугольника:

\[
\sqrt{a^2 + b^2} = 25 \, \text{см}, \quad \frac{1}{2} ab = 150 \, \text{см}^2;
\]

1) Второе уравнение:

\[
ab = 300, \quad b = \frac{300}{a};
\]

2) Первое уравнение:

\[
a^2 + \frac{90\,000}{a^2} = 625;
\]

\[
a^4 — 625a^2 + 90\,000 = 0;
\]

\[
D = 625^2 — 4 \cdot 90\,000;
\]

\[
D = 390\,625 — 360\,000 = 30\,625, \quad \text{тогда:}
\]

\[
\frac{625 — 175}{2} = 225, \quad a_1 = 15, \quad b_1 = 20;
\]

\[
\frac{625 + 175}{2} = 400, \quad a_2 = 20, \quad b_2 = 15;
\]

Ответ:

\(15 \, \text{см}\) и \(20 \, \text{см}\).

Задача:

Пусть \( a, b \) — катеты треугольника:

\[
\sqrt{a^2 + b^2} = 25 \, \text{см}, \quad \frac{1}{2} ab = 150 \, \text{см}^2;
\]

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение:

\[
ab = 300, \quad b = \frac{300}{a};
\]

Шаг 2: Подставим выражение для \(b\) из второго уравнения в первое:

\[
a^2 + \frac{90\,000}{a^2} = 625;
\]

Шаг 3: Умножим обе части на \(a^2\), чтобы избавиться от дроби:

\[
a^4 — 625a^2 + 90\,000 = 0;
\]

Шаг 4: Решаем полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[
D = 625^2 — 4 \cdot 90\,000;
\]

\[
D = 390\,625 — 360\,000 = 30\,625, \quad \text{тогда:}
\]

Шаг 5: Находим корни уравнения:

\[
a_1 = \frac{625 — 175}{2} = 225, \quad a_1 = 15, \quad b_1 = 20;
\]

\[
a_2 = \frac{625 + 175}{2} = 400, \quad a_2 = 20, \quad b_2 = 15;
\]

Ответ:

\( 15 \, \text{см} \) и \( 20 \, \text{см} \).