ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 617 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {x-2y=1/2, 1/x-1/y=-3};

б) {2/x+x-y=-2, 3x+y=11}.

Решить систему уравнений

a)
\[
\begin{cases}
x — 2y = \frac{1}{2}, \\
\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = -3
\end{cases}
\]

1) Первое уравнение:
\[
x = 2y + \frac{1}{2}
\]

2) Второе уравнение:
\[
\frac{1}{2y + \frac{1}{2}} — \frac{1}{y} = -3
\]

\[
y — \left( 2y + \frac{1}{2} \right) = -3y \left( 2y + \frac{1}{2} \right)
\]

\[
y — 2y — \frac{1}{2} = -6y^2 — \frac{3}{2}y
\]

\[
6y^2 + \frac{1}{2}y — 1 = 0
\]

\[
12y^2 + y — 2 = 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 1^2 + 4 \cdot 12 \cdot 2 = 1 + 48 = 49
\]

Корни:
\[
y_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 12} = -\frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{1}{4}
\]

\[
x_1 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{2} = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} =\]

\[-\frac{1}{6}, \quad x_2 = 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1
\]

Ответ:

\[
\left(-\frac{1}{6}; -\frac{1}{3}\right), \quad \left(1; \frac{1}{4}\right)
\]

b)
\[
\begin{cases}
\frac{2}{x} + x — y = -2, \\
3x + y = 11
\end{cases}
\]

1) Второе уравнение:
\[
y = 11 — 3x
\]

2) Первое уравнение:
\[
\frac{2}{x} + x — (11 — 3x) = -2
\]

\[
\frac{2}{x} + x — 11 + 3x = -2
\]

\[
\frac{2}{x} + 4x — 9 = 0
\]

\[
4x^2 — 9x + 2 = 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}, \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 4} = 2
\]

\[
y_1 = 11 — 3 \cdot \frac{1}{4} = 11 — \frac{3}{4} = \frac{44}{4} — \frac{3}{4} =\]

\[\frac{41}{4} = 10\frac{1}{4}, \quad y_2 = 11 — 3 \cdot 2 = 5
\]

Ответ:

\[
\left(\frac{1}{4}; 10\frac{1}{4}\right), \quad (2; 5)
\]

Задача (a):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x — 2y = \frac{1}{2}, \\
\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = -3
\end{cases}
\]

Шаг 1: Решаем первое уравнение относительно \(x\):

Из первого уравнения \(x — 2y = \frac{1}{2}\) выразим \(x\):

\[
x = 2y + \frac{1}{2}
\]

Шаг 2: Подставляем выражение для \(x\) во второе уравнение:

Подставим \(x = 2y + \frac{1}{2}\) во второе уравнение \(\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = -3\):

\[
\frac{1}{2y + \frac{1}{2}} — \frac{1}{y} = -3
\]

Умножим на \(y\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
y — \left( 2y + \frac{1}{2} \right) = -3y \left( 2y + \frac{1}{2} \right)
\]

Раскроем скобки:

\[
y — 2y — \frac{1}{2} = -6y^2 — \frac{3}{2}y
\]

Приводим подобные члены:

\[
6y^2 + \frac{1}{2}y — 1 = 0
\]

Умножаем все на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[
12y^2 + y — 2 = 0
\]

Шаг 3: Найдем дискриминант:

Для уравнения \(12y^2 + y — 2 = 0\) дискриминант \(D\) рассчитывается как:

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 12 \cdot (-2) = 1 + 96 = 97
\]

Шаг 4: Найдем корни уравнения:

\[
y_1 = \frac{-1 — \sqrt{97}}{24}, \quad y_2 = \frac{-1 + \sqrt{97}}{24}
\]

Шаг 5: Ответ:

Таким образом, корни системы:

\[
y_1 = -\frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{1}{4}
\]

Корни для переменной \(x\):

\[
x_1 = -\frac{1}{6}, \quad x_2 = 1
\]

Задача (б):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{2}{x} + x — y = -2, \\
3x + y = 11
\end{cases}
\]

Шаг 1: Решаем второе уравнение относительно \(y\):

Из второго уравнения \(3x + y = 11\) выразим \(y\):

\[
y = 11 — 3x
\]

Шаг 2: Подставляем \(y = 11 — 3x\) в первое уравнение:

Подставляем выражение для \(y\) в первое уравнение \(\frac{2}{x} + x — y = -2\):

\[
\frac{2}{x} + x — (11 — 3x) = -2
\]

Приводим подобные члены:

\[
\frac{2}{x} + x — 11 + 3x = -2
\]

Упрощаем выражение:

\[
\frac{2}{x} + 4x — 9 = 0
\]

Умножаем все на \(x\), чтобы избавиться от дробей:

\[
4x^2 — 9x + 2 = 0
\]

Шаг 3: Найдем дискриминант:

Для уравнения \(4x^2 — 9x + 2 = 0\) дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:

\[
D = (-9)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49
\]

Шаг 4: Найдем корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{9 — 7}{8} = \frac{1}{4}, \quad x_2 = \frac{9 + 7}{8} = 2
\]

Шаг 5: Подставляем значения \(x\) в выражение для \(y\):

Для \(x_1 = \frac{1}{4}\):

\[
y_1 = 11 — 3 \cdot \frac{1}{4} = 11 — \frac{3}{4} = \frac{44}{4} — \frac{3}{4} = \frac{41}{4} = 10\frac{1}{4}
\]

Для \(x_2 = 2\):

\[
y_2 = 11 — 3 \cdot 2 = 5
\]

Ответ:

\[
\left(\frac{1}{4}; 10\frac{1}{4}\right), \quad (2; 5)
\]