ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 614 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {(x-y)^2+2(x-y)=3, 3x^2+xy+y^2=27};

б) {(1/2)(x+y)^2-x-y=4, (1/2)x^2+xy+(1/4)y^2=-2}.

(a):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
(x — y)^2 + 2(x — y) = 3, \\
3x^2 + xy + y^2 = 27
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
(x — y)^2 + 2(x — y) — 3 = 0
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16
\]

\[
x — y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad y_1 = x + 3
\]

\[
x — y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, \quad y_2 = x — 1
\]

Первое значение (\(y_1 = x + 3\)):
\[
3x^2 + x(x + 3) + (x + 3)^2 = 27
\]

\[
3x^2 + x^2 + 3x + x^2 + 6x + 9 = 27
\]

\[
5x^2 + 9x — 18 = 0
\]

\[
D = 9^2 + 4 \cdot 5 \cdot 18 = 441
\]

\[
x_1 = \frac{-9 — 21}{10} = -3, \quad x_2 = \frac{-9 + 21}{10} = 1.2
\]

\[
y_1 = -3 + 3 = 0, \quad y_2 = 1.2 + 3 = 4.2
\]

Второе значение (\(y_2 = x — 1\)):
\[
3x^2 + x(x — 1) + (x — 1)^2 = 27
\]

\[
3x^2 + x^2 — x + x^2 — 2x + 1 = 27
\]

\[
5x^2 — 3x — 26 = 0
\]

\[
D = (-3)^2 + 4 \cdot 5 \cdot 26 = 529
\]

\[
x_1 = \frac{3 — 23}{10} = -2, \quad x_2 = \frac{3 + 23}{10} = 2.6
\]
\[
y_1 = -2 — 1 = -3, \quad y_2 = 2.6 — 1 = 1.6
\]

Ответ \((-3; 0)\), \((1.2; 4.2)\), \((-2; -3)\), \((2.6; 1.6)\).

(б):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2}(x + y)^2 — x — y = 4, \\
\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{4}y^2 = -2
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
\frac{1}{2}(x + y)^2 — (x + y) — 4 = 0
\]

\[
(x + y)^2 — 2(x + y) — 8 = 0
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36
\]

\[
x + y_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad y_1 = -x — 2
\]

\[
x + y_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 4, \quad y_2 = 4 — x
\]

Первое значение (\(y_1 = -x — 2\)):
\[
\frac{1}{2}x^2 + x(-x — 2) + \frac{1}{4}(-x — 2)^2 = -2
\]

\[
\frac{1}{2}x^2 — x^2 — 2x + \frac{1}{4}(x^2 + 4x + 4) = -2
\]

\[
-\frac{1}{4}x^2 — x + 3 = 0
\]

\[
x^2 + 4x — 12 = 0
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64
\]

\[
x_1 = \frac{-4 — 8}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2
\]

\[
y_1 = 6 — 2 = 4, \quad y_2 = -2 — 2 = -4
\]

Второе значение (\(y_2 = 4 — x\)):
\[
\frac{1}{2}x^2 + x(4 — x) + \frac{1}{4}(4 — x)^2 = -2
\]

\[
\frac{1}{2}x^2 + 4x — x^2 + 4 — 2x + \frac{1}{4}x^2 = -2
\]

\[
-\frac{1}{4}x^2 + 2x + 6 = 0
\]

\[
x^2 — 8x — 24 = 0
\]

\[
D = 8^2 + 4 \cdot 24 = 160
\]

\[
x_1 = \frac{8 — \sqrt{160}}{2} = 4 — 2\sqrt{10}, \quad x_2 = \frac{8 + \sqrt{160}}{2} = 4 + 2\sqrt{10}
\]

\[
y_1 = 4 — (4 — 2\sqrt{10}) = 2\sqrt{10}, \quad y_2 = 4 — (4 + 2\sqrt{10}) = -2\sqrt{10}
\]

Ответ: \((-6; 4)\), \((2; -4)\), \((4 — 2\sqrt{10}; 2\sqrt{10})\), \((4 + 2\sqrt{10}; -2\sqrt{10})\).

Задача (a):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
(x — y)^2 + 2(x — y) = 3, \\
3x^2 + xy + y^2 = 27
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

\[
(x — y)^2 + 2(x — y) — 3 = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
(x — y)^2 + 2(x — y) = (x^2 — 2xy + y^2) + 2x — 2y = 3
\]

\[
x^2 + y^2 — 2xy + 2x — 2y = 3
\]

Используем второй член: \(y = x + 3\)

Дискриминант:

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16
\]

Корни:

\[
x — y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad y_1 = x + 3
\]

\[
x — y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, \quad y_2 = x — 1
\]

Подставляем в первое уравнение (\(y_1 = x + 3\)):

\[
3x^2 + x(x + 3) + (x + 3)^2 = 27
\]

\[
3x^2 + x^2 + 3x + x^2 + 6x + 9 = 27
\]

\[
5x^2 + 9x — 18 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 9^2 + 4 \cdot 5 \cdot 18 = 441
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-9 — 21}{10} = -3, \quad x_2 = \frac{-9 + 21}{10} = 1.2
\]

Решаем для \(y_1\):

\[
y_1 = -3 + 3 = 0, \quad y_2 = 1.2 + 3 = 4.2
\]

Подставляем в уравнение с \(y_2 = x — 1\):

\[
3x^2 + x(x — 1) + (x — 1)^2 = 27
\]

\[
3x^2 + x^2 — x + x^2 — 2x + 1 = 27
\]

\[
5x^2 — 3x — 26 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = (-3)^2 + 4 \cdot 5 \cdot 26 = 529
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{3 — 23}{10} = -2, \quad x_2 = \frac{3 + 23}{10} = 2.6
\]

Решаем для \(y_1\):

\[
y_1 = -2 — 1 = -3, \quad y_2 = 2.6 — 1 = 1.6
\]

Ответ: \((-3; 0), (1.2; 4.2), (-2; -3), (2.6; 1.6)\).

Задача (б):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{2}(x + y)^2 — x — y = 4, \\
\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{4}y^2 = -2
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

\[
\frac{1}{2}(x + y)^2 — (x + y) — 4 = 0
\]

Раскрываем скобки:

\[
(x + y)^2 — 2(x + y) — 8 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36
\]

Корни:

\[
x + y_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad y_1 = -x — 2
\]

\[
x + y_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 4, \quad y_2 = 4 — x
\]

Подставляем для первого значения (\(y_1 = -x — 2\)):

\[
\frac{1}{2}x^2 + x(-x — 2) + \frac{1}{4}(-x — 2)^2 = -2
\]

\[
\frac{1}{2}x^2 — x^2 — 2x + \frac{1}{4}(x^2 + 4x + 4) = -2
\]

\[
-\frac{1}{4}x^2 — x + 3 = 0
\]

\[
x^2 + 4x — 12 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-4 — 8}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2
\]

Решаем для \(y_1\):

\[
y_1 = 6 — 2 = 4, \quad y_2 = -2 — 2 = -4
\]

Подставляем для второго значения (\(y_2 = 4 — x\)):

\[
\frac{1}{2}x^2 + x(4 — x) + \frac{1}{4}(4 — x)^2 = -2
\]

\[
\frac{1}{2}x^2 + 4x — x^2 + 4 — 2x + \frac{1}{4}x^2 = -2
\]

\[
-\frac{1}{4}x^2 + 2x + 6 = 0
\]

\[
x^2 — 8x — 24 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 8^2 + 4 \cdot 24 = 160
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{8 — \sqrt{160}}{2} = 4 — 2\sqrt{10}, \quad x_2 = \frac{8 + \sqrt{160}}{2} = 4 + 2\sqrt{10}
\]

Решаем для \(y_1\):

\[
y_1 = 4 — (4 — 2\sqrt{10}) = 2\sqrt{10}, \quad y_2 = 4 — (4 + 2\sqrt{10}) = -2\sqrt{10}
\]

Ответ: \((-6; 4), (2; -4), (4 — 2\sqrt{10}; 2\sqrt{10}), (4 + 2\sqrt{10}; -2\sqrt{10})\).