ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 613 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений системы уравнений:

а) {2x^2-3y^2=-16, (x-y)(x+y)=0}; в) {9x^2-y^2=0, x^2+y^2-x=0};

б) {(2x+y)(2y-x)=0, (1/2)x^2-2xy-y^2=2}; г) {x^2-y^2-y=24, x^2-4y^2=0}.

Задача (a):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
2x^2 — 3y^2 = -16 \\
(x — y)(x + y) = 0
\end{cases}
\]

Второе уравнение: \(x^2 — y^2 = 0\), \(y^2 = x^2\).

Первое уравнение:
\[
2x^2 — 3x^2 = -16
\]

Решение:
\[
x^2 = 16, \quad x = \pm 4
\]

\[
y^2 = 16, \quad y = \pm 4
\]

Ответ: \((-4; -4)\), \((-4; 4)\), \((4; -4)\), \((4; 4)\).

Задача (б):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
(2x + y)(2y — x) = 0 \\
\frac{1}{2}x^2 — 2xy — y^2 = 2
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
2x + y = 0 \quad \text{или} \quad 2y — x = 0
\]

Рассмотрим оба случая:
— \(y = -2x\):
\[
\frac{1}{2}x^2 + 4x^2 — 4x^2 = 2
\]

\[
x^2 = 4, \quad x = \pm 2
\]

\[
y = -2 \cdot \pm 2 = \mp 4
\]

— \(x = 2y\):
\[
2y^2 — 4y^2 — y^2 = 2
\]

\[
-3y^2 = 2, \quad y \not\in \mathbb{R}
\]

Ответ: \((-2; 4)\), \((2; -4)\).

Задача (в):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
9x^2 — y^2 = 0 \\
x^2 + y^2 — x = 9
\end{cases}
\]

Первое уравнение: \(y^2 = 9x^2\).

Второе уравнение:
\[
x^2 + 9x^2 — x = 9
\]

\[
10x^2 — x — 9 = 0
\]

Решение:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 361
\]

\[
x_1 = \frac{1 — 19}{20} = -0.9, \quad x_2 = \frac{1 + 19}{20} = 1
\]

Для \(x_1 = -0.9\):
\[
y^2 = 9 \cdot (-0.9)^2 = 7.29, \quad y = \pm 2.7
\]

Для \(x_2 = 1\):
\[
y^2 = 9 \cdot 1^2 = 9, \quad y = \pm 3
\]

Ответ: \((-0.9; -2.7)\), \((-0.9; 2.7)\), \((1; -3)\), \((1; 3)\).

Задача (г):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 — y^2 — y = 24 \\
x^2 — 4y^2 = 0
\end{cases}
\]

Второе уравнение: \(x^2 = 4y^2\).

Первое уравнение:
\[
4y^2 — y^2 — y = 24
\]

\[
3y^2 — y — 24 = 0
\]

Решение:
\[
D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 24 = 289
\]

\[
y_1 = \frac{1 — 17}{6} = -\frac{8}{3}, \quad y_2 = \frac{1 + 17}{6} = 3
\]

Для \(y_1 = -\frac{8}{3}\):
\[
x^2 = 4 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{256}{9}, \quad x = \pm \frac{16}{3}
\]

Для \(y_2 = 3\):
\[
x^2 = 4 \cdot 3^2 = 36, \quad x = \pm 6
\]

Ответ: \(\left( 5-\frac{1}{3}; — 2 \frac{2}{3}\right)\), \( 5 \left(\frac{1}{3}; — 2 \frac{2}{3}\right)\), \((-6; 3)\), \((6; 3)\).

Задача (a):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
2x^2 — 3y^2 = -16 \\
(x — y)(x + y) = 0
\end{cases}
\]

Второе уравнение: \(x^2 — y^2 = 0\), \(y^2 = x^2\).

Первое уравнение:

\[
2x^2 — 3x^2 = -16
\]

Решение:

\[
x^2 = 16, \quad x = \pm 4
\]

\[
y^2 = 16, \quad y = \pm 4
\]

Ответ: \((-4; -4), (-4; 4), (4; -4), (4; 4)\).

Задача (б):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
(2x + y)(2y — x) = 0 \\
\frac{1}{2}x^2 — 2xy — y^2 = 2
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

\[
2x + y = 0 \quad \text{или} \quad 2y — x = 0
\]

Рассмотрим оба случая:

— \(y = -2x\):

\[
\frac{1}{2}x^2 + 4x^2 — 4x^2 = 2
\]

\[
x^2 = 4, \quad x = \pm 2
\]

\[
y = -2 \cdot \pm 2 = \mp 4
\]

— \(x = 2y\):

\[
2y^2 — 4y^2 — y^2 = 2
\]

\[
-3y^2 = 2, \quad y \not\in \mathbb{R}
\]

Ответ: \((-2; 4), (2; -4)\).

Задача (в):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
9x^2 — y^2 = 0 \\
x^2 + y^2 — x = 9
\end{cases}
\]

Первое уравнение: \(y^2 = 9x^2\).

Второе уравнение:

\[
x^2 + 9x^2 — x = 9
\]

Решение:

\[
x^4 + 18x^2 + 36 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 25
\]

Корни:

\[
x_1^2 = \frac{13 — 5}{2} = 4, \quad x_2^2 = \frac{13 + 5}{2} = 9
\]

\[
x_1 = \pm 2, \quad x_2 = \pm 3
\]

Подставляем в уравнение для \(y\):

\[
y_1 = \frac{6}{\pm 2} = \pm 3, \quad y_2 = \frac{6}{\pm 3} = \pm 2
\]

Ответ: \((-2; -3), (2; 3), (-3; -2), (3; 2)\).

Задача (г):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
9x^2 + 4y^2 = 64 + 12xy \\
9x^2 + 4y^2 = 16 — 12xy
\end{cases}
\]

Разность уравнений: \( 0 = 48 + 24xy, \quad y = -\frac{2}{x} \).

Сумма уравнений: \( 18x^2 + 8y^2 = 80 \).

Решение:

\[
9x^4 — 40x^2 + 16 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 40^2 — 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1024
\]

Корни:

\[
x_1^2 = \frac{40 — 32}{18} = \frac{4}{9}, \quad x_2^2 = \frac{40 + 32}{18} = 4
\]

\[
x_1 = \pm \frac{2}{3}, \quad x_2 = \pm 2
\]

Подставляем в уравнение для \(y\):

\[
y_1 = \frac{-2}{\pm \frac{2}{3}} = \pm 3, \quad y_2 = \frac{-2}{\pm 2} = \pm 1
\]

Ответ: \(\left( 5-\frac{1}{3}; — 2 \frac{2}{3}\right)\), \( 5 \left(\frac{1}{3}; — 2 \frac{2}{3}\right)\), \((-6; 3)\), \((6; 3)\).