ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 612 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {x^2+y^2=29, xy=-10}; в) {x^2+3xy+y^2=31, xy-6=0};

б) {1-xy=0, x^2+y^2=4 1/4}; г) {x^2-4xy+y^2=6, 5-xy=0}.

Задача (a):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 29 \\
xy = -10
\end{cases}
\]

Второе уравнение: \(y = -\frac{10}{x}\).

Первое уравнение:
\[
x^2 + \frac{100}{x^2} = 29
\]

Решение:
\[
x^4 — 29x^2 + 100 = 0
\]

\[
D = 29^2 — 4 \cdot 1 \cdot 100 = 441
\]

\[
x_1^2 = \frac{29 — 21}{2} = 4, \quad x_2^2 = \frac{29 + 21}{2} = 25
\]

\[
x_1 = \pm 2, \quad x_2 = \pm 5
\]

\[
y_1 = \frac{10}{\pm 2} = \pm 5, \quad y_2 = \frac{10}{\pm 5} = \pm 2
\]

Ответ: \((-2; 5)\), \((2; -5)\), \((-5; 2)\), \((5; -2)\).

Задача (б):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
1 — xy = 0 \\
x^2 + y^2 = \frac{4}{4}
\end{cases}
\]

Первое уравнение: \(xy = 1\), \(y = \frac{1}{x}\).

Второе уравнение:
\[
x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{17}{4}
\]

Решение:

\[
4x^4 — 17x^2 + 4 = 0
\]

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225
\]

\[
x_1^2 = \frac{17 — 15}{8} = 0.25, \quad x_2^2 = \frac{17 + 15}{8} = 4
\]

\[
x_1 = \pm 0.5, \quad x_2 = \pm 2
\]

\[
y_1 = \frac{1}{\pm 0.5} = \pm 2, \quad y_2 = \frac{1}{\pm 2} = \pm 0.5
\]

Ответ: \((-0.5; -2)\), \((0.5; 2)\), \((-2; -0.5)\), \((2; 0.5)\).

Задача (в):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + 3xy + y^2 = 31 \\
xy — 6 = 0
\end{cases}
\]

Второе уравнение: \(xy = 6\), \(y = \frac{6}{x}\).

Первое уравнение:

\[
x^2 + \frac{36}{x^2} + 18 = 31
\]

Решение:

\[
x^4 + 18x^2 + 36 = 0
\]

\[
D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 25
\]

\[
x_1^2 = \frac{13 — 5}{2} = 4, \quad x_2^2 = \frac{13 + 5}{2} = 9
\]

\[
x_1 = \pm 2, \quad x_2 = \pm 3
\]

\[
y_1 = \frac{6}{\pm 2} = \pm 3, \quad y_2 = \frac{6}{\pm 3} = \pm 2
\]

Ответ: \((-2; -3)\), \((2; 3)\), \((-3; -2)\), \((3; 2)\).

Задача (г):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 — 4xy + y^2 = 6 \\
5 — xy = 0
\end{cases}
\]

Второе уравнение: \(xy = 5\), \(y = \frac{5}{x}\).

Первое уравнение:
\[
x^2 — 20 + \frac{25}{x^2} = 6
\]

Решение:
\[
x^4 — 26x^2 + 25 = 0
\]

\[
D = 26^2 — 4 \cdot 25 = 576
\]

\[
x_1^2 = \frac{26 — 24}{2} = 1, \quad x_2^2 = \frac{26 + 24}{2} = 25
\]

\[
x_1 = \pm 1, \quad x_2 = \pm 5
\]

\[
y_1 = \frac{5}{\pm 1} = \pm 5, \quad y_2 = \frac{5}{\pm 5} = \pm 1
\]

Ответ: \((-1; -5)\), \((1; 5)\), \((-5; -1)\), \((5; 1)\).

Задача (a):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 29 \\
xy = -10
\end{cases}
\]

Второе уравнение: \( y = -\frac{10}{x} \).

Первое уравнение:

\[
x^2 + \frac{100}{x^2} = 29
\]

Решение:

\[
x^4 — 29x^2 + 100 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 29^2 — 4 \cdot 1 \cdot 100 = 441
\]

Корни:

\[
x_1^2 = \frac{29 — 21}{2} = 4, \quad x_2^2 = \frac{29 + 21}{2} = 25
\]

\[
x_1 = \pm 2, \quad x_2 = \pm 5
\]

Подставляем в уравнение для \(y\):

\[
y_1 = \frac{10}{\pm 2} = \pm 5, \quad y_2 = \frac{10}{\pm 5} = \pm 2
\]

Ответ: \( (-2; 5), (2; -5), (-5; 2), (5; -2) \).

Задача (б):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
1 — xy = 0 \\
x^2 + y^2 = \frac{4}{4}
\end{cases}
\]

Первое уравнение: \( xy = 1, \quad y = \frac{1}{x} \).

Второе уравнение:

\[
x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{17}{4}
\]

Решение:

\[
4x^4 — 17x^2 + 4 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225
\]

Корни:

\[
x_1^2 = \frac{17 — 15}{8} = 0.25, \quad x_2^2 = \frac{17 + 15}{8} = 4
\]

\[
x_1 = \pm 0.5, \quad x_2 = \pm 2
\]

Подставляем в уравнение для \(y\):

\[
y_1 = \frac{1}{\pm 0.5} = \pm 2, \quad y_2 = \frac{1}{\pm 2} = \pm 0.5
\]

Ответ: \( (-0.5; -2), (0.5; 2), (-2; -0.5), (2; 0.5) \).

Задача (в):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + 3xy + y^2 = 31 \\
xy — 6 = 0
\end{cases}
\]

Второе уравнение: \( xy = 6, \quad y = \frac{6}{x} \).

Первое уравнение:

\[
x^2 + \frac{36}{x^2} + 18 = 31
\]

Решение:

\[
x^4 + 18x^2 + 36 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 25
\]

Корни:

\[
x_1^2 = \frac{13 — 5}{2} = 4, \quad x_2^2 = \frac{13 + 5}{2} = 9
\]

\[
x_1 = \pm 2, \quad x_2 = \pm 3
\]

Подставляем в уравнение для \(y\):

\[
y_1 = \frac{6}{\pm 2} = \pm 3, \quad y_2 = \frac{6}{\pm 3} = \pm 2
\]

Ответ: \( (-2; -3), (2; 3), (-3; -2), (3; 2) \).

Задача (г):

Решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
9x^2 + 4y^2 = 64 + 12xy \\
9x^2 + 4y^2 = 16 — 12xy
\end{cases}
\]

Разность уравнений: \( 0 = 48 + 24xy, \quad y = -\frac{2}{x} \).

Сумма уравнений: \( 18x^2 + 8y^2 = 80 \).

Решение:

\[
9x^4 — 40x^2 + 16 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 40^2 — 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1024
\]

Корни:

\[
x_1^2 = \frac{40 — 32}{18} = \frac{4}{9}, \quad x_2^2 = \frac{40 + 32}{18} = 4
\]

\[
x_1 = \pm \frac{2}{3}, \quad x_2 = \pm 2
\]

Подставляем в уравнение для \(y\):

\[
y_1 = \frac{-2}{\pm \frac{2}{3}} = \pm 3, \quad y_2 = \frac{-2}{\pm 2} = \pm 1
\]

Ответ: \( \left(-\frac{2}{3}; 3\right), \left(\frac{2}{3}; -3\right), (-2; 1), (2; -1) \).