ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 611 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений системы уравнений:

а) {x^2+y^2-16=2xy, x^2+y^2-4=-2xy}; в) {4x^2+y^2+4xy=49, 4x^2+y^2-4xy=81};

б) {x^2+y^2-2xy=49, x^2+y^2+2xy=9}; г) {9x^2+4y^2=64+12xy, 9x^2+4y^2=16-12xy}.

Задача (a):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 — 16 = 2xy \\
x^2 + y^2 — 4 = -2xy
\end{cases}
\]

Разность уравнений: \(-12 = 4xy\), \(y = -\frac{3}{x}\).

Сумма уравнений: \(2x^2 + 2y^2 — 20 = 0\); \(x^2 + y^2 — 10 = 0\).

Решение:
\[
x^4 — 10x^2 + 9 = 0
\]

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64
\]

\[
x_1^2 = \frac{10 — 8}{2} = 1, \quad x_2^2 = \frac{10 + 8}{2} = 9
\]

\[
x_1 = \pm 1, \quad x_2 = \pm 3
\]

\[
y_1 = \frac{3}{\pm 1}, \quad y_2 = \frac{3}{\pm 3}
\]

Ответ: \((-1; 3)\), \((1; -3)\), \((-3; 1)\), \((3; -1)\).

Задача (б):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 — 2xy = 49 \\
x^2 + y^2 + 2xy = 9
\end{cases}
\]

Разность уравнений: \(-4xy = 40\), \(y = \frac{10}{x}\).

Сумма уравнений: \(2x^2 + 2y^2 = 58\).

Решение:
\[
x^4 — 29x^2 + 100 = 0
\]

\[
D = 29^2 — 4 \cdot 1 \cdot 100 = 441
\]

\[
x_1^2 = \frac{29 — 21}{2} = 4, \quad x_2^2 = \frac{29 + 21}{2} = 25
\]

\[
x_1 = \pm 2, \quad x_2 = \pm 5
\]

\[
y_1 = \frac{10}{\pm 2} = \pm 5, \quad y_2 = \frac{10}{\pm 5} = \pm 2
\]

Ответ: \((-2; 5)\), \((2; -5)\), \((-5; 2)\), \((5; -2)\).

Задача (в):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
4x^2 + y^2 + 4xy = 49 \\
4x^2 + y^2 — 4xy = 81
\end{cases}
\]

Разность уравнений: \(8xy = -32\), \(y = -\frac{4}{x}\).

Сумма уравнений: \(8x^2 + 2y^2 = 130\).

Решение:

\[
4x^4 — 65x^2 + 16 = 0
\]

\[
D = 65^2 — 4 \cdot 4 \cdot 16 = 3969
\]

\[
x_1^2 = \frac{65 — 63}{8} = 0.25, \quad x_2^2 = \frac{65 + 63}{8} = 16
\]

\[
x_1 = \pm 0.5, \quad x_2 = \pm 4
\]

\[
y_1 = \frac{-4}{\pm 0.5} = \pm 8, \quad y_2 = \frac{-4}{\pm 4} = \pm 1
\]

Ответ: \((-0.5; 8)\), \((0.5; -8)\), \((-4; 1)\), \((4; -1)\).

Задача (г):

Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
9x^2 + 4y^2 = 64 + 12xy \\
9x^2 + 4y^2 = 16 — 12xy
\end{cases}
\]

Разность уравнений: \(0 = 48 + 24xy\), \(y = -\frac{2}{x}\).

Сумма уравнений: \(18x^2 + 8y^2 = 80\).

Решение:
\[
9x^4 — 40x^2 + 16 = 0
\]

\[
D = 40^2 — 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1024
\]

\[
x_1^2 = \frac{40 — 32}{18} = \frac{4}{9}, \quad x_2^2 = \frac{40 + 32}{18} = 4
\]

\[
x_1 = \pm \frac{2}{3}, \quad x_2 = \pm 2
\]

\[
y_1 = \frac{-2}{\pm \frac{2}{3}} = \pm 3, \quad y_2 = \frac{-2}{\pm 2} = \pm 1
\]

Ответ: \(\left(-\frac{2}{3}; 3\right)\), \(\left(\frac{2}{3}; -3\right)\), \((-2; 1)\), \((2; -1)\).

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} 4x^2 — 5y^2 — 3y = -10, \\ 2x^2 — 3y^2 — 2y = -6. \end{cases} \)

1. Преобразуем уравнения:

Первое уравнение: \( 4x^2 — 5y^2 — 3y = -10 \), преобразуем в \( 4x^2 = 5y^2 + 3y — 10 \).

Второе уравнение: \( 2x^2 — 3y^2 — 2y = -6 \), преобразуем в \( 2x^2 = 3y^2 + 2y — 6 \).

2. Подставляем выражение для \( 2x^2 \) из второго уравнения в первое:

\( 2(3y^2 + 2y — 6) — 5y^2 — 3y = -10 \)

3. Упрощаем:

\( 6y^2 + 4y — 12 — 5y^2 — 3y = -10, \quad y^2 + y + 2 = 0 \)

4. Рассчитываем дискриминант:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \)

5. Корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

6. Подставляем найденные значения \( y \) в уравнение для \( x \):

Для \( y_1 = -2 \), подставляем в \( 2x^2 = 3y^2 + 2y — 6 \):

\( 2x^2 = 12 — 4 — 6 = 2, \quad x_1 = \pm 1 \)

Для \( y_2 = 1 \), подставляем в \( 2x^2 = 3y^2 + 2y — 6 \):

\( 2x^2 = 3 + 2 — 6 = -1, \quad \text{решений нет}. \)

Ответ: \( (-1; -2); (1; -2).

б) \( \begin{cases} x^2 — y^2 — 2x = -1, \\ -2x^2 + 3y^2 + 5x = 15. \end{cases} \)

1. Преобразуем уравнения:

Первое уравнение: \( x^2 — y^2 — 2x = -1 \), преобразуем в \( y^2 = x^2 — 2x + 1 \).

Второе уравнение: \( -2x^2 + 3y^2 + 5x = 15 \), подставляем выражение для \( y^2 \) в это уравнение:

\( -2x^2 + 3(x^2 — 2x + 1) + 5x = 15 \)

2. Упрощаем:

\( -2x^2 + 3x^2 — 6x + 3 + 5x = 15, \quad x^2 — x — 12 = 0 \)

3. Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-1)^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49 \)

4. Корни для \( x \):

\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 4 \)

5. Подставляем найденные значения \( x \) в уравнение для \( y^2 \):

Для \( x_1 = -3 \), подставляем в \( y^2 = x^2 — 2x + 1 \):

\( y_1^2 = 9 + 6 + 1 = 16, \quad y_1 = \pm 4 \)

Для \( x_2 = 4 \), подставляем в \( y^2 = x^2 — 2x + 1 \):

\( y_2^2 = 16 — 8 + 1 = 9, \quad y_2 = \pm 3 \)

Ответ: \( (-3; -4); (-3; 4); (4; -3); (4; 3).

в) \( \begin{cases} 2xy — 5y = 5, \\ 3y^2 — 2xy = 45. \end{cases} \)

1. Преобразуем первое уравнение:

\( 2xy — 5y = 5, \quad 2xy = 5y + 5 \)

2. Подставляем во второе уравнение:

\( 3y^2 — (5y + 5) = 45, \quad 3y^2 — 5y — 5 = 45, \quad 3y^2 — 5y — 50 = 0 \)

3. Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-5)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 50 = 25 + 600 = 625 \)

4. Корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{5 — 25}{6} = -\frac{5}{3}, \quad y_2 = \frac{5 + 25}{6} = 5 \)

5. Подставляем значения \( y_1 \) и \( y_2 \) в первое уравнение:

Для \( y_1 = -\frac{5}{3} \), подставляем в \( 2xy = 5y + 5 \):

\( x_1 = \frac{-20}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{35}{3} \)

Для \( y_2 = 5 \), подставляем в \( 2xy = 5y + 5 \):

\( x_2 = 3 \)

Ответ: \( \left(\frac{3}{4}; — 3 \frac{1}{3}\right); (3; 5).

г) \( \begin{cases} 4x^2 — 3xy = -8, \\ xy — x = 10. \end{cases} \)

1. Преобразуем второе уравнение:

\( xy = x + 10 \)

2. Подставляем это выражение в первое уравнение:

\( 4x^2 — 3(x + 10) = -8, \quad 4x^2 — 3x — 30 = -8, \quad 4x^2 — 3x — 22 = 0 \)

3. Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-3)^2 + 4 \cdot 4 \cdot 22 = 9 + 352 = 361 \)

4. Корни для \( x \):

\( x_1 = \frac{3 — 19}{8} = -2, \quad x_2 = \frac{3 + 19}{8} = \frac{11}{4} \)

5. Подставляем \( x_1 = -2 \) в уравнение \( xy = x + 10 \):

\( -2y_1 = -2 + 10 = 8, \quad y_1 = -4 \)

6. Подставляем \( x_2 = \frac{11}{4} \) в уравнение \( xy = x + 10 \):

\( \frac{11}{4}y_2 = \frac{11}{4} + 10 = \frac{51}{4}, \quad y_2 = \frac{51}{11} \)

Ответ: \( (-2; -4); \left( 2 \frac{3}{4}; 4 \frac{7}{11}\right).