ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 609 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

а) {x^2-4y=-8, 3x^2+2y=18}; в) {2x^2+5x-3y=21, 5x^2-11x-9y=7};

б) {3x+2y^2=9, 6x-3y^2=-45}; г) {4x-3y-5y^2=8, 2x-2y-3y^2=3}.

Решить систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
x^2 — 4y = -8, \\
3x^2 + 2y = 18.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

\[
x^2 = 4y — 8.
\]

Второе уравнение:

\[
3(4y — 8) + 2y = 18, \quad 12y — 24 + 2y = 18, \quad 14y = 42, \quad y = 3.
\]

Первое уравнение:

\[
x^2 = 12 — 8 = 4, \quad x = \pm \sqrt{4} = \pm 2.
\]

Ответ:

\((-2; 3); (2; 3).\)

б)
\[
\begin{cases}
3x + 2y^2 = 9, \\
6x — 3y^2 = -45.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

\[
2y^2 = 9 — 3x.
\]

Второе уравнение:

\[
6x — 3\left(\frac{9 — 3x}{2}\right) = -45, \quad 6x — 13.5 + 4.5x =\]

\[-45, \quad 10.5x = -31.5, \quad x = -3.
\]

Первое уравнение:

\[
2y^2 = 9 + 9 = 18, \quad y^2 = 9, \quad y = \pm 3.
\]

Ответ:

\((-3; -3); (-3; 3).\)

в)
\[
\begin{cases}
2x^2 + 5x — 3y = 21, \\
5x^2 — 11x — 9y = 7.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

\[
3y = 2x^2 + 5x — 21.
\]

Второе уравнение:

\[
5x^2 — 11x — 3(2x^2 + 5x — 21) = 7, \quad 5x^2 — 11x -\]

\[6x^2 — 15x + 63 = 7, \quad x^2 + 26x — 56 = 0.
\]

Дискриминант:

\[
D = 26^2 + 4 \cdot 56 = 676 + 224 = 900.
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-26 — 30}{2} = -28, \quad x_2 = \frac{-26 + 30}{2} = 2.
\]

Подставляем в первое уравнение:

\[
3y_1 = 1568 — 140 — 21 = 1407, \quad y_1 = 469;
\]

\[
3y_2 = 8 + 10 — 21 = -3, \quad y_2 = -1.
\]

Ответ:

\((-28; 469); (2; -1).\)

г)
\[
\begin{cases}
4x — 3y — 5y^2 = 8, \\
2x — 2y — 3y^2 = 3.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:

\[
2x = 3y^2 + 2y + 3.
\]

Первое уравнение:

\[
2(3y^2 + 2y + 3) — 3y — 5y^2 = 8, \quad 6y^2 + 4y +\]

\[ 6 — 3y — 5y^2 = 8, \quad y^2 + y — 2 = 0.
\]

Дискриминант:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9.
\]

Корни:

\[
y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1.
\]

Второе уравнение:

\[
2x_1 = 12 — 4 + 3 = 11, \quad x_1 = 5.5;
\]

\[
2x_2 = 3 + 2 + 3 = 8, \quad x_2 = 4.
\]

Ответ:

\((5.5; -2); (4; 1).\)

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} 2x — 3y = 8, \\ xy + 12 = 0. \end{cases} \)

1. Преобразуем уравнения:

Первое уравнение: \( 2x — 3y = 8 \), преобразуем в \( y = \frac{2x — 8}{3} \).

Второе уравнение: \( xy + 12 = 0 \), преобразуем в \( y = -\frac{12}{x} \).

2. Подставим выражение для \( y \) из первого уравнения во второе:

\( \frac{2x — 8}{3} = -\frac{12}{x} \)

3. Умножим обе части на \( 3x \), чтобы избавиться от дробей:

\( x(2x — 8) = -36 \)

4. Раскрываем скобки и получаем:

\( 2x^2 — 8x = -36 \)

5. Переносим все в одну сторону:

\( 2x^2 — 8x + 36 = 0 \)

6. Делим на 2:

\( x^2 — 4x + 18 = 0 \)

7. Рассчитаем дискриминант:

\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 16 — 72 = -56 \)

8. Так как дискриминант отрицателен, решений нет.

Ответ: решений нет.

б) \( \begin{cases} 3x + 2y^2 = 9, \\ 6x — 3y^2 = -45. \end{cases} \)

1. Преобразуем уравнения:

Первое уравнение: \( 3x + 2y^2 = 9 \), преобразуем в \( 2y^2 = 9 — 3x \).

Второе уравнение: \( 6x — 3y^2 = -45 \), подставляем \( 2y^2 = 9 — 3x \) во второе уравнение:

\( 6x — 3 \left( \frac{9 — 3x}{2} \right) = -45 \)

2. Упростим:

\( 6x — \frac{3(9 — 3x)}{2} = -45 \)

\( 6x — \frac{27 — 9x}{2} = -45 \)

3. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\( 12x — (27 — 9x) = -90 \)

\( 12x — 27 + 9x = -90 \)

\( 21x — 27 = -90 \)

\( 21x = -63 \)

\( x = -3 \)

4. Подставляем \( x = -3 \) в первое уравнение:

\( 2y^2 = 9 — 3(-3) = 9 + 9 = 18, \quad y^2 = 9, \quad y = \pm 3 \)

Ответ: \( (-3; -3); (-3; 3).

в) \( \begin{cases} 2x^2 + 5x — 3y = 21, \\ 5x^2 — 11x — 9y = 7. \end{cases} \)

1. Преобразуем уравнения:

Первое уравнение: \( 2x^2 + 5x — 3y = 21 \), преобразуем в \( 3y = 2x^2 + 5x — 21 \).

Второе уравнение: \( 5x^2 — 11x — 9y = 7 \), подставляем \( 3y = 2x^2 + 5x — 21 \) во второе уравнение:

\( 5x^2 — 11x — 3(2x^2 + 5x — 21) = 7 \)

2. Упрощаем:

\( 5x^2 — 11x — 6x^2 — 15x + 63 = 7 \)

\( -x^2 — 26x + 63 = 7 \)

\( -x^2 — 26x + 56 = 0 \)

3. Умножим на -1:

\( x^2 + 26x — 56 = 0 \)

4. Рассчитаем дискриминант:

\( D = 26^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 676 + 224 = 900 \)

5. Корни для \( x \):

\( x_1 = \frac{-26 — 30}{2} = -28, \quad x_2 = \frac{-26 + 30}{2} = 2 \)

6. Подставляем \( x_1 = -28 \) в первое уравнение:

\( 3y_1 = 2(-28)^2 + 5(-28) — 21 = 2 \cdot 784 — 140 — 21 = 1407, \quad y_1 = 469 \)

7. Подставляем \( x_2 = 2 \) в первое уравнение:

\( 3y_2 = 2(2)^2 + 5(2) — 21 = 8 + 10 — 21 = -3, \quad y_2 = -1 \)

Ответ: \( (-28; 469); (2; -1).

г) \( \begin{cases} 4x — 3y — 5y^2 = 8, \\ 2x — 2y — 3y^2 = 3. \end{cases} \)

1. Преобразуем второе уравнение:

\( 2x = 3y^2 + 2y + 3 \).

2. Подставляем это выражение в первое уравнение:

\( 2(3y^2 + 2y + 3) — 3y — 5y^2 = 8 \)

3. Упрощаем:

\( 6y^2 + 4y + 6 — 3y — 5y^2 = 8 \)

\( y^2 + y — 2 = 0 \)

4. Рассчитаем дискриминант:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \)

5. Корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

6. Подставляем \( y_1 = -2 \) во второе уравнение:

\( 2x_1 = 12 — 4 + 3 = 11, \quad x_1 = 5.5 \)

7. Подставляем \( y_2 = 1 \) во второе уравнение:

\( 2x_2 = 3 + 2 + 3 = 8, \quad x_2 = 4 \)

Ответ: \( (5.5; -2); (4; 1) \).