ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 608 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

С помощью графиков уравнений найдите (приближённо) решения системы:

а) {2x-3y=8, xy+12=0}; в) {y-x^2+x=0, y+x^2+3=0};

б) {(x-y)(x+y)=0, x^2+y^2=4}; г) {(y-x^2)(y-2x)=0, y+x+1=0}.

Решить систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
2x — 3y = 8, \\
xy + 12 = 0.
\end{cases}
\]

Преобразуем уравнения:

\[
y = \frac{2x — 8}{3}, \quad y = -\frac{12}{x}.
\]

Графики уравнений:

Ответ: решений нет.

б)
\[
\begin{cases}
(x-y)(x+y) = 0, \\
x^2 + y^2 = 4.
\end{cases}
\]

Преобразуем уравнения:

\[
y = x, \quad y = -x, \quad x^2 + y^2 = 2^2.
\]

Графики уравнений:

Ответ:

\((-1,4; -1,4); (-1,4; 1,4); (1,4; -1,4); (1,4; 1,4).\)

в)
\[
\begin{cases}
y — x^2 + x = 0, \\
y + x^2 + 3 = 0.
\end{cases}
\]

Преобразуем уравнения:

\[
y = x^2 — x, \quad y = -x^2 — 3.
\]

Графики уравнений:

г)
\[
\begin{cases}
(y — x^2)(y — 2x) = 0, \\
y + x + 1 = 0.
\end{cases}
\]

Преобразуем уравнения:

\[
y = x^2, \quad y = 2x, \quad y = -x — 1.
\]

Графики уравнений:

Ответ:

\(\left(\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}\right); \left(-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\right).\)

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} 2x — 3y = 8, \\ xy + 12 = 0. \end{cases} \)

1. Преобразуем уравнения:

Первое уравнение: \( 2x — 3y = 8 \) преобразуем в \( y = \frac{2x — 8}{3} \).

Второе уравнение: \( xy + 12 = 0 \) преобразуем в \( y = -\frac{12}{x} \).

2. Подставим выражение для \( y \) из первого уравнения во второе:

\( \frac{2x — 8}{3} = -\frac{12}{x} \)

3. Умножим обе части на \( 3x \), чтобы избавиться от дробей:

\( x(2x — 8) = -36 \)

4. Раскрываем скобки и получаем:

\( 2x^2 — 8x = -36 \)

5. Переносим все в одну сторону:

\( 2x^2 — 8x + 36 = 0 \)

6. Делим на 2:

\( x^2 — 4x + 18 = 0 \)

7. Рассчитаем дискриминант:

\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 16 — 72 = -56 \)

8. Так как дискриминант отрицателен, решения нет.

Ответ: решений нет.

б) \( \begin{cases} (x — y)(x + y) = 0, \\ x^2 + y^2 = 4. \end{cases} \)

1. Раскрываем первое уравнение:

\( (x — y)(x + y) = 0 \), что дает два возможных уравнения: \( y = x \) и \( y = -x \).

2. Подставляем \( y = x \) в \( x^2 + y^2 = 4 \):

\( x^2 + x^2 = 4, \quad 2x^2 = 4, \quad x^2 = 2, \quad x = \pm \sqrt{2} \)

3. Подставляем \( y = -x \) в \( x^2 + y^2 = 4 \):

\( x^2 + (-x)^2 = 4, \quad 2x^2 = 4, \quad x^2 = 2, \quad x = \pm \sqrt{2} \)

4. Таким образом, для каждого значения \( x \) есть два значения \( y \), а именно \( y = \pm \sqrt{2} \).

Ответ: \( (-1,4; -1,4); (-1,4; 1,4); (1,4; -1,4); (1,4; 1,4).\)

в) \( \begin{cases} y — x^2 + x = 0, \\ y + x^2 + 3 = 0. \end{cases} \)

1. Преобразуем оба уравнения:

Первое уравнение: \( y — x^2 + x = 0 \) преобразуем в \( y = x^2 — x \).

Второе уравнение: \( y + x^2 + 3 = 0 \) преобразуем в \( y = -x^2 — 3 \).

2. Приравниваем два выражения для \( y \):

\( x^2 — x = -x^2 — 3 \)

3. Переносим все в одну сторону:

\( 2x^2 — x + 3 = 0 \)

4. Рассчитаем дискриминант:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 — 24 = -23 \)

5. Так как дискриминант отрицателен, решений нет.

Ответ: решений нет.

г) \( \begin{cases} (y — x^2)(y — 2x) = 0, \\ y + x + 1 = 0. \end{cases} \)

1. Раскрываем первое уравнение:

\( (y — x^2)(y — 2x) = 0 \), что дает два возможных уравнения: \( y = x^2 \) и \( y = 2x \).

2. Подставляем \( y = x^2 \) в \( y + x + 1 = 0 \):

\( x^2 + x + 1 = 0 \)

3. Рассчитаем дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3 \)

4. Так как дискриминант отрицателен, решений нет для этого уравнения.

5. Подставляем \( y = 2x \) в \( y + x + 1 = 0 \):

\( 2x + x + 1 = 0 \), что дает \( 3x + 1 = 0 \), \( x = -\frac{1}{3} \).

6. Подставляем \( x = -\frac{1}{3} \) в \( y = 2x \):

\( y = 2 \times -\frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \)

Ответ: \( \left(\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}\right); \left(-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\right) \).